Question

Bài 5: Cho f(x) là một đa thức với các hệ số nguyên. Biết f(0) và f(1) là những số nguyên lẻ. Chứng minh rằng phương trình f(x)= 0 không có nghiệm nguyên.

help me nhé

fan cứng của #LienQuanMobile

Answer 1

Giả sử a là nghiệm nguyên của pt \(f\left(x\right)=0\)

+ Ta có : \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)\cdot Q\left(x\right)\)

( Q(x) là đa thức có hệ số nguyên )

+ \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)=-a\cdot Q\left(0\right)\\f\left(1\right)=\left(1-a\right)\cdot Q\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

+ f(0) là số lẻ => a là số lẻ (1)

+ f(1) là số lẻ => \(1-a\) là số lẻ

=> a là số chẵn ( mâu thuẫn với (1) )

Do đó ta có đpcm