Question

Bài 1 : Tìm số nguyên n để cho \(\frac{2n-1}{3n+2}\) rút gọn được 

Bài 2 : Cho A = \(\frac{10n}{5n-3}\) ( n \(\in\) Z )

a) Tìm n để A có giá trị nguyên

b) Tìm giá trị lớn nhất của A 

Answer 1

Bài 2: chia 10n cho 5n-3 như bình thường ta được dư là 6

Để A có giá trị nguyên thì \(10n⋮5n-3\) Do đó 6 phai chia hết cho 3n+2

<= >5n-3\(\in u\left(6\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm3;\pm6\right\}\\\)

Lập bảng

5n-3=	-6	-3	-2	-1	1	2	3	6
n=	-0.6	0	0.2	0.4	0.8	1	1.2	1.8

Answer 2

Dưới đây là lời giải chi tiết cho hai bài toán bạn hỏi:

Bài 1: Tìm số nguyên \(n\) để biểu thức\(\frac{2 n - 1}{3 n + 2}\)

rút gọn được.

Phân tích:

Một phân số có thể rút gọn được khi tử số và mẫu số có ước chung lớn hơn 1.

Vậy ta cần tìm số nguyên \(n\) sao cho:

\(gcd ⁡ \left(\right. 2 n - 1 , 3 n + 2 \left.\right) > 1\)Giải:

Gọi \(d = gcd ⁡ \left(\right. 2 n - 1 , 3 n + 2 \left.\right)\), \(d > 1\).

Vì \(d \mid \left(\right. 2 n - 1 \left.\right)\) và \(d \mid \left(\right. 3 n + 2 \left.\right)\), nên \(d\) cũng chia được các tổ hợp tuyến tính của chúng:

\(d \mid \left(\right. 3 \times \left(\right. 2 n - 1 \left.\right) \left.\right) = 6 n - 3\) \(d \mid \left(\right. 2 \times \left(\right. 3 n + 2 \left.\right) \left.\right) = 6 n + 4\)

Do đó,

\(d \mid \left(\right. \left(\right. 6 n + 4 \left.\right) - \left(\right. 6 n - 3 \left.\right) \left.\right) = 7\)

Vậy \(d \mid 7\).

Vì \(d > 1\), nên \(d = 7\).

Điều kiện:\(7 \mid \left(\right. 2 n - 1 \left.\right) \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} 7 \mid \left(\right. 3 n + 2 \left.\right)\)

Tức là:

\(2 n - 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 7 \left.\right) \Rightarrow 2 n \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\) \(3 n + 2 \equiv 0 \left(\right. m o d 7 \left.\right) \Rightarrow 3 n \equiv - 2 \equiv 5 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)Giải từng phương trình modulo 7:\(2 n \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)

Nhân hai vế với nghịch đảo của 2 modulo 7. Vì \(2 \times 4 = 8 \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\), nên nghịch đảo của 2 là 4.

\(n \equiv 4 \times 1 = 4 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)\(3 n \equiv 5 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)

Nghịch đảo của 3 modulo 7 là 5 vì \(3 \times 5 = 15 \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)

\(n \equiv 5 \times 5 = 25 \equiv 4 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)Kết luận:

Cả hai điều kiện đều yêu cầu:

\(n \equiv 4 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)

Vậy các số nguyên \(n\) thỏa mãn là:

\(n = 7 k + 4 , k \in \mathbb{Z}\)Bài 2: Cho\(A = \frac{10 n}{5 n - 3} , n \in \mathbb{Z}\)a) Tìm \(n\) để \(A\) có giá trị nguyênĐiều kiện:Mẫu số khác 0:\(5 n - 3 \neq 0 \Rightarrow n \neq \frac{3}{5}\)\(A\) là số nguyên \(\Rightarrow 5 n - 3 \mid 10 n\)Phân tích:

Giả sử \(d = 5 n - 3\), ta cần \(d \mid 10 n\).

Ta có:

\(d = 5 n - 3 \Rightarrow 5 n = d + 3\)

Thay vào biểu thức \(10 n = 2 \times 5 n = 2 \left(\right. d + 3 \left.\right) = 2 d + 6\).

Vì \(d \mid 10 n\), tức là \(d \mid 2 d + 6\).

Mà \(d \mid 2 d\) nên \(d \mid 6\).

Tóm lại:\(5 n - 3 = d \mid 6\)

Vậy \(5 n - 3\) là ước của 6.

Các ước của 6 là: \(\pm 1 , \pm 2 , \pm 3 , \pm 6\).

Tìm \(n\) ứng với từng giá trị:\(5 n - 3 = 1 \Rightarrow 5 n = 4 \Rightarrow n = \frac{4}{5}\) (không nguyên)\(5 n - 3 = - 1 \Rightarrow 5 n = 2 \Rightarrow n = \frac{2}{5}\) (không nguyên)\(5 n - 3 = 2 \Rightarrow 5 n = 5 \Rightarrow n = 1\) (nguyên)\(5 n - 3 = - 2 \Rightarrow 5 n = 1 \Rightarrow n = \frac{1}{5}\) (không nguyên)\(5 n - 3 = 3 \Rightarrow 5 n = 6 \Rightarrow n = \frac{6}{5}\) (không nguyên)\(5 n - 3 = - 3 \Rightarrow 5 n = 0 \Rightarrow n = 0\) (nguyên)\(5 n - 3 = 6 \Rightarrow 5 n = 9 \Rightarrow n = \frac{9}{5}\) (không nguyên)\(5 n - 3 = - 6 \Rightarrow 5 n = - 3 \Rightarrow n = - \frac{3}{5}\) (không nguyên)Vậy các giá trị nguyên \(n\) thỏa mãn là:\(n = 0 , n = 1\)Kiểm tra giá trị \(A\):Với \(n = 0\):\(A = \frac{10 \times 0}{5 \times 0 - 3} = \frac{0}{- 3} = 0\)Với \(n = 1\):\(A = \frac{10 \times 1}{5 \times 1 - 3} = \frac{10}{2} = 5\)b) Tìm giá trị lớn nhất của \(A\)

Ta xét hàm số:

\(A \left(\right. n \left.\right) = \frac{10 n}{5 n - 3}\)

với \(n \in \mathbb{Z}\), \(n \neq \frac{3}{5}\).

Phân tích:Khi \(n \rightarrow + \infty\), \(A \left(\right. n \left.\right) \rightarrow \frac{10 n}{5 n} = 2\)Khi \(n \rightarrow - \infty\), \(A \left(\right. n \left.\right) \rightarrow 2\)Tính giá trị \(A \left(\right. n \left.\right)\) tại một số \(n\) nguyên:

\(n\)nnn	\(A \left(\right. n \left.\right) = \frac{10 n}{5 n - 3}\)A(n)=10n5n−3A(n) = \frac{10n}{5n - 3}A(n)=5n−310n	Giá trị
0	0	0
1	\(\frac{10}{2} = 5\)102=5\frac{10}{2} = 5210=5	5
2	\(\frac{20}{7} \approx 2.86\)207≈2.86\frac{20}{7} \approx 2.86720≈2.86	2.86
3	\(\frac{30}{12} = 2.5\)3012=2.5\frac{30}{12} = 2.51230=2.5	2.5
4	\(\frac{40}{17} \approx 2.35\)4017≈2.35\frac{40}{17} \approx 2.351740≈2.35	2.35
5	\(\frac{50}{22} \approx 2.27\)5022≈2.27\frac{50}{22} \approx 2.272250≈2.27	2.27
-1	\(\frac{- 10}{- 8} = 1.25\)−10−8=1.25\frac{-10}{-8} = 1.25−8−10=1.25	1.25
-2	\(\frac{- 20}{- 13} \approx 1.54\)−20−13≈1.54\frac{-20}{-13} \approx 1.54−13−20≈1.54	1.54
-3	\(\frac{- 30}{- 18} = 1.67\)−30−18=1.67\frac{-30}{-18} = 1.67−18−30=1.67	1.67

Nhận xét:Giá trị \(A \left(\right. n \left.\right)\) lớn nhất trong các giá trị nguyên đã thử là tại \(n = 1\) với \(A = 5\).Các giá trị khác đều gần 2 hoặc nhỏ hơn 5.Vì hàm số tiệm cận 2 khi \(n \rightarrow \pm \infty\), nên giá trị lớn nhất của \(A\) trên các số nguyên là 5 tại \(n = 1\).Tóm tắt đáp án:Bài 1: Các số nguyên \(n\) để phân số rút gọn được là \(n = 7 k + 4\), với \(k \in \mathbb{Z}\).Bài 2:a) \(A\) nguyên khi \(n = 0\) hoặc \(n = 1\).b) Giá trị lớn nhất của \(A\) là \(5\), đạt được tại \(n = 1\).

Nếu bạn cần giải thích thêm hoặc bài toán khác, cứ hỏi nhé!