Bài 1 : Tìm các số nguyên tố p ; q sao cho :
a) p + 10 , p + 14 là các số nguyên tố
b) q + 2 , p + 10 là các số nguyên tố
Bài 2 : Chứng minh rằng : Nếu \(\left(ab+cd+eg\right)\) ⋮ 11 thì abcdeg ⋮ 11
Bài 3 : Cho n = 7a5 + 8b4 . Biết a - b = 6 và n ⋮ 9 . Tìm a và b
Bài 4 : Tìm số tự nhiên n sao cho 1! + 2! + 3! + ... + n! là một số chính phương .
Bài 5 : Các số sau có phải là số chính phương không ?
a) A = 5 + 5\(^2\) + 5\(^3\) + ... + 5\(^{20}\)
Bài 1:
a) Xét p=2, vô lý
Xét p=3⇒\(p+10=13;p+14=17\), thỏa mãn
Xét \(p>3\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}p=3k+1\\p=3k+2\end{matrix}\right.\)(k∈N*)
TH1: \(p=3k+1\)
\(\Rightarrow p+14=3k+1 +14=3k+15⋮3\) mà \(3k+15>3\) nên là hợp số, vô lý
TH2: \(p=3k+2\)
\(\Rightarrow p+10=3k+2+10=3k+12⋮3\) mà \(3k+12>3\) nên là hợp số, vô lý
Vậy nếu p>3 thì không có giá trị nào thỏa mãn đề bài.
Vậy p=3 thỏa mãn đề bài.
Bài 4:
Xét n=1, thỏa mãn
Xét n=2, vô lý
Xét n=3, thỏa mãn
Xét n=4, vô lý
Xét n>4\(\Rightarrow n!\)có tận cùng bằng 0
\(\Rightarrow1!+2!+3!+4!+...+n!=33+...+n!\) có tận cùng bằng 3 (1)
Mà \(1!+2!+3!+4!+...+n!\)là số chính phương nên không thể có tận cùng bằng 3 (2)
Từ (1) và (2)⇒Nếu n>4 thì không có giá trị nào thỏa mãn.
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}n=1\\n=3\end{matrix}\right.\)thỏa mãn đề bài
