Bài 1: Cho x, y > 0 thoả mãn x + y = 2. Tìm GTLN của A = x2y2(x2 + y2)
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1
Chứng minh rằng: \(\frac{2}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}+\frac{2}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}\)\(+\frac{2}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\le1\)
Cứu mình với các bạn ơi ~! Mình sắp phải làm bài kiểm tra rồi! Cảm ơn các bạn trước!
1.
\(xy\le\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2=1\)
\(A=x^2y^2\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]=x^2y^2\left(4-2xy\right)\)
Đặt \(xy=t\Rightarrow0< t\le1\Rightarrow t-1\le0\)
\(A=t^2\left(4-2t\right)=-2t^3+4t^2-2+2\)
\(=-2t\left(1-t\right)^2+2\left(t-1\right)+2\le2\)
\(\Rightarrow A_{max}=2\) khi \(t=1\) hay \(x=y=1\)
2.
\(\frac{2}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}=\frac{2}{a^2+2a+1+b^2+1}=\frac{2}{a^2+b^2+2a+2}\le\frac{2}{2ab+2a+2}=\frac{1}{ab+a+1}\)
Tương tự: \(\frac{2}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}\le\frac{1}{bc+b+1}\) ; \(\frac{2}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\le\frac{1}{ac+c+1}\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
