Question

Bài 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là trung điểm BD. Chứng minh rằng, nếu AC, AM , là hai đường đẳng giác của góc BAD thì ABCD là tứ giác điều hòa.

Answer 1

Bài này là định lý khá cơ bản của tứ giác điều hoà.

Do AM, AC đẳng giác của góc BAD nên dễ dàng chứng minh được:

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAD}\).

Mặt khác do tứ giác ABCD nội tiếp nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACD}\).

Từ đó \(\Delta ABM\sim\Delta ACD(g.g)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BM}=\dfrac{AC}{CD}\Rightarrow AB.CD=BM.AC\).

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(AD.BC=CM.AC\).

Mà BM = CM nên \(AB.CD=AD.BC\) hay tứ giác ABCD điều hoà.

(Định lý đảo vẫn đúng).