Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA và AC = BD. Chứng minh: tứ giác MNPQ là hình thoi.
Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE. Tia phân giác của góc DAC cắt BE, BC theo thứ tự ở I, K. Tia phân giác của góc EBC cắt AD, AC theo thứ tự ở M, N.
a) CM: AK ⊥ BN.
b) MINK là hình gì? Vì sao?
Bài 1:
Xét ΔABD có
Q là trung điểm của AD(gt)
M là trung điểm của AB(gt)
Do đó: QM là đường trung bình của ΔABD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒QM//BD và \(QM=\frac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Xét ΔBCD có
N là trung điểm của BC(gt)
P là trung điểm của CD(gt)
Do đó: NP là đường trung bình của ΔBCD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒NP//BD và \(NP=\frac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)
Từ (1) và (2) suy ra QM//NP và QM=NP
Xét tứ giác MNPQ có QM//NP(cmt) và QM=NP(cmt)
nên MNPQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB(gt)
N là trung điểm của BC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒\(MN=\frac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(3)
mà AC=BD(gt)(4)
nên từ (1), (3) và (4) suy ra QM=MN
Hình bình hành MNPQ có QM=MN(cmt)
nên MNPQ là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)
