Bài 1: Cho ∆ABC đều, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia đối của tia BC lấy
điểm E sao cho BE = BC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CB = CD.
a) Chứng minh rằng ∆AEB = ∆ADC
b) Từ D kẻ DF vuông góc với AC tại F. Chứng minh rằng ∆CHF cân
c) Chứng minh rằng AD//HF
d) Từ B kẻ BM vuông góc AE tại M, từ C kẻ CN vuông góc với AD tại N. Gọi
I là giao điểm của BM và CN. Chứng minh AI là phân giác của BAC ̂
Bài 2: Cho ∆ABC có AB= AC = 5cm, BC = 6CM. Kẻ AK vuông góc với BC ( K
∈ BC).
a) Chứng minh rằng KB = KC và BAK ̂ =CAK ̂
b) Tính độ dài AK
c) Kẻ KE vuông góc với AB ( E ∈ AB) , KD vuông góc với AC ( D ∈ AC).
Chứng minh rằng ∆KDE là tam giác cân.
d) Chứng minh rằng DE//BC
e) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AB = AM. Chứng minh răng
MC vuông góc với BC
Bài 1:
a. Ta có: \(\widehat{ABE}=\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=60^o+60^o=120^o\)
\(\widehat{ACD}=\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=60^o+60^o=120^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)
Theo gt: \(BE=BC;CD=BC\Rightarrow BE=CD\left(=BC\right)\)
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) có:
\(AB=AC\)
\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\left(cmt\right)\)
\(BE=CD\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ACD\left(c-g-c\right)\)
b. Xét \(\Delta AHC\left(\widehat{AHC}=90^o\right)\) và \(\Delta DFC\left(\widehat{DFC}=90^o\right)\) có:
\(AC=CD\)
\(\widehat{ACH}=\widehat{DCF}\) (2 góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\Delta AHC=\Delta DFC\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow HC=CF\) (2 cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\Delta CHF\) cân tại C
c. Ta có: \(\Delta CHF\) cân tại C; \(\Delta CAD\) cân tại C(CA=CD)
\(\widehat{CHF}=\frac{180^o-\widehat{HCF}}{2};\widehat{ADC}=\frac{180^o-\widehat{ACD}}{2}\)
Mà: \(\widehat{HCF}=\widehat{ACD}\) ( 2 góc đối đỉnh )
\(\Rightarrow\widehat{CHF}=\widehat{ADC}\)
Mà 2 góc ở vị trí so le trong
\(\Rightarrow\) HF//AD
d. Xét \(\Delta BAH\left(\widehat{H_1}=90^o\right)\) và \(\Delta ACH\left(\widehat{H_2}=90^o\right)\) có:
AH cạnh chung
\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\)
\(\Rightarrow\Delta BAH=\Delta CAH\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) ( 2 góc tương ứng )
\(\Rightarrow AI\) là đường phân giác \(\widehat{BAC}\)
Bài 1:
a) Chứng minh ΔAEB=ΔACD
Ta có: ΔABC đều(gt)
⇒AB=BC=AC và \(\widehat{BAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60^0\)(số đo của các cạnh và các góc trong ΔABC đều)
mà BC=BE và CB=CD(gt)
nên EB=BC=CD=AB=AC
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABE}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{ACB}+\widehat{ACD}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(cmt)
nên \(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)
Xét ΔABE và ΔACD có
AB=AC(cmt)
\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)(cmt)
EB=CD(cmt)
Do đó: ΔABE=ΔACD(c-g-c)
b) Chứng minh ΔCHF cân
Xét ΔAHC vuông tại H và ΔDFC vuông tại F có
CA=CD(cmt)
\(\widehat{ACH}=\widehat{DCF}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔAHC=ΔDFC(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒CH=CF(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔCHF có CH=CF(cmt)
nên ΔCHF cân tại C(định nghĩa tam giác cân)
c) Chứng minh HF//AD
Xét ΔCAD có CA=CD(cmt)
nên ΔCAD cân tại C(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{CAD}=\frac{180^0-\widehat{ACD}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔCAD cân tại C)(1)
Ta có: ΔCHF cân tại C(cmt)
⇒\(\widehat{CFH}=\frac{180^0-\widehat{HCF}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔCHF cân tại C)(2)
Ta có: \(\widehat{ACD}=\widehat{HCF}\)(hai góc đối đỉnh)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{CAD}=\widehat{CFH}\)
mà \(\widehat{CAD}\) và \(\widehat{CFH}\) là hai góc ở vị trí so le trong
nên HF//AD(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
d) Chứng minh AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
Ta có: ΔACD cân tại C(cmt)
mà CN là đường cao ứng với cạnh đáy AD(gt)
nên CN cũng là đường trung tuyến ứng với AD(định lí tam giác cân)
⇒N là trung điểm của AD
Xét ΔABE có AB=BE(cmt)
nên ΔABE cân tại B(định nghĩa tam giác cân)
mà BM là đường cao ứng với cạnh đáy AE(gt)
nên BM là đường trung tuyến ứng với AE(định lí tam giác cân)
⇒M là trung điểm của AE
Ta có: \(ND=\frac{AD}{2}\)(N là trung điểm của AD)
\(ME=\frac{AE}{2}\)(M là trung điểm của AE)
mà AD=AE(ΔACD=ΔABE)
nên ND=ME
Xét ΔMBE vuông tại M và ΔNCD vuông tại N có
EB=CD(cmt)
ME=ND(cmt)
Do đó: ΔMBE=ΔNCD(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒\(\widehat{EBM}=\widehat{DCN}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{EBM}=\widehat{IBC}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{DCN}=\widehat{ICB}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)
Xét ΔIBC có \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(cmt)
nên ΔIBC cân tại I(định lí đảo của tam giác cân)
⇒IB=IC
Xét ΔABI và ΔACI có
AB=AC(ΔABC đều)
IB=IC(cmt)
AI là cạnh chung
Do đó: ΔABI=ΔACI(c-c-c)
⇒\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(hai góc tương ứng)
mà tia AI nằm giữa hai tia AB,AC
nên AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)
