a) Xét 2 tam giác vuông ΔBDC và ΔCEB ta có:
Cạnh huyền BC: chung
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (△ABC cân tại A)
=> ΔBDC = ΔCEB (c.h - g.n)
b) Có: ΔBDC = ΔCEB (câu a)
=> DC = EB (2 cạnh tương ứng) (1)
Và \(\widehat{ECB}=\widehat{DBC}\) (2 góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{DCI}+\widehat{ECB}=\widehat{ACB}\)
\(\widehat{EBI}+\widehat{DBC}=\widehat{ABC}\)
Mà: \(\widehat{ECB}=\widehat{DBC}\) (cmt)
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (△ABC cân tại A)
=> \(\widehat{DCI}=\widehat{EBI}\)
Xét ΔEBI và ΔDCI ta có:
\(\widehat{DCI}=\widehat{EBI}\) (cmt)
DC = EB (đã chưng minh ở 1)
\(\widehat{CDI}=\widehat{BEI}\left(=90^0\right)\)
=> ΔEBI = ΔDCI (g - c - g)
=> \(\widehat{IBE}=\widehat{ICD}\) (2 góc tương ứng)
c) Có: ΔEBI = ΔDCI (câu b)
=> BI = CI (2 cạnh tương ứng)
Xét ΔABI và ΔACI ta có:
BI = CI (cmt)
AB = AC (△ABC cân tại A)
AI: cạnh chung
=> ΔABI = ΔACI (c - c - c)
=> \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) (2 góc tương ứng)
Hay: \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)
Xét ΔABH và ΔACH ta có:
AB = AC (△ABC cân tại A)
\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\) (cmt)
AH: cạnh chung
=> ΔABH = ΔACH (c - g - c)
=> \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này lại là 2 góc kề bù nên
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=180^0:2=90^0\)
=> AH ⊥ BC (tại H)
Hay: AI ⊥ BC (tại H)
