1.
$ 30 = a . m + r (m \in \mathbb{N}); 17 = a . n + r (n \in \mathbb{N}) \\ 30 - 17 = am + r - (an + r) \\\Leftrightarrow 13 = a(m - n) \\\Leftrightarrow a \in Ư(13); (m - n) \in Ư(13) $
Do $ a \ne 1 \\\Rightarrow a = 13 $
$ 17 = a . n + r = 13 . n + r $
Vì $ n \in \mathbb{N} $ nên $ n = 1 \Rightarrow r = 4 $
2.
$ 2n + 1 = 2n - 6 + 7 = 2(n - 3) + 7 \\ 2(n - 3) \vdots n - 3 $
Để $ 2n + 1 \vdots n - 3 \Rightarrow 7 \vdots n - 3 \Rightarrow n - 3 \in \left \{ 1;7 \right \} $
| $ n - 3 $ | $ n $ |
| $ 1 $ | $ 4 $ |
| $ 7 $ | $ 10 $ |
$ n^2 + 3 = n^2 - 1 + 4 = (n + 1)(n - 1) + 4\\ (n + 1)(n - 1) \vdots n + 1 $
Để $ n^2 + 3 \vdots n + 1 \Rightarrow 4 \vdots n + 1 \Rightarrow n + 1 \in \left \{ 1;2;4 \right \} $
| $ n + 1 $ | $ n $ |
| $ 1 $ | $ 0 $ |
| $ 2 $ | $ 1 $ |
| $ 4 $ | $ 3 $ |
3.
$ p = 2 \Rightarrow p + 20 $ không là số nguyên tố (loại)
$ p = 3 $
$ p + 20 = 3 + 20 = 23 $ là số nguyên tố
$ p + 40 = 3 + 40 = 43 $ là số nguyên tố
(nhận)
$ p > 3 $
$ p = 3k + 1 \Rightarrow p + 20 = 3k + 1 + 20 = 3k + 21 = 3(k + 7) \vdots 3 $
Vậy $ p + 20 $ không là số nguyên tố (loại)
$ p = 3k + 2 \Rightarrow p + 40 = 3k + 2 + 40 = 3k + 42 = 3(k + 14) \vdots 3 $
Vậy $ p + 40 $ không là số nguyên tố (loại)
Vậy $ p = 3 \Rightarrow p + 8 = 3 + 8 = 11 $ là số nguyên tố (ĐPCM)
