a) Gọi ƯCLN(2n+5;n+3)=d
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2n+5⋮d\\n+3⋮d\end{matrix}\right.\) =>\(\left\{{}\begin{matrix}2n+5⋮d\\2\left(n+3\right)⋮d\end{matrix}\right.\) =>\(\left\{{}\begin{matrix}2n+5⋮d\\2n+6⋮d\end{matrix}\right.\) => \(\left(2n+6\right)-\left(2n+5\right)⋮d\) =>\(1⋮d\) => \(d\inƯ\left(1\right)=\left\{1\right\}\)
Vậy \(\dfrac{2n+5}{n+3}\)là phân số tối giản
Bài 2:
Giả sử \(\dfrac{18n+3}{21n+7}\) rút gọn cho số nguyên tố d thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}18n+3⋮d\\21n+7⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow6\left(21n+7\right)-7\left(18n+3\right)⋮d\)
\(\Rightarrow\left(126n+42\right)-\left(126n+21\right)⋮d\)
\(\Rightarrow21⋮d\)
\(\Rightarrow d\in\left\{2;3;7\right\}\) (Vì d là số nguyên tố). Nhưng \(21n+7⋮̸3\) và \(18n+7⋮̸2\) nên \(d\ne2;d\ne3\). Vậy d = 7. Để d = 7 thì cả hai số 18n + 3 và 21n + 7 cùng chia hết cho 7. 21n + 7 hiển nhiên chia hết cho 7. Ta thấy:
\(18n+3⋮7\Rightarrow18n+3-21⋮7\Rightarrow18n-18⋮7\Rightarrow18\left(n-1\right)⋮7\Rightarrow n-1⋮7\)
Vậy điều kiện để \(\dfrac{18n+3}{21n+7}\) rút gọn được là n = 7k + 1 (k \(\in\) N)
