Question

@) Chứng minh đẳng thức \(\frac{2sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1}{cotx-sinx.cosx}=2tan^2x\) khi các biểu thức đều xác định

b) Tìm giá trị của tham số m để bpt \(-1\le\frac{x^2-2x-m}{x^2+2x+2019}< 2\) nghiệm đúng với mọi số thực x

Answer 1

a/ \(\frac{1-cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)-1}{cosx\left(\frac{1}{sinx}-sinx\right)}=\frac{sin2x}{cosx\left(\frac{1-sin^2x}{sinx}\right)}=\frac{2sinx.cosx.sinx}{cosx.cos^2x}=\frac{2sin^2x}{cos^2x}=2tan^2x\)

b/ \(x^2+2x+2019=\left(x+1\right)^2+2018>0\) \(\forall x\)

\(-1\le\frac{x^2-2x-m}{x^2+2x+2019}\Leftrightarrow x^2-2x-m\ge-x^2-2x-2019\)

\(\Leftrightarrow2x^2\ge m-2019\) \(\forall x\)

\(\Rightarrow m-2019\le0\Rightarrow m\le2019\)

\(\frac{x^2-2x-m}{x^2+2x+2019}< 2\Leftrightarrow x^2-2x-m< 2x^2+4x+4038\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+9>-m-4029\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2>-m-4029\) \(\forall x\)

\(\Rightarrow-m-4029< 0\Rightarrow m>-4029\)

Vậy \(-4029< m\le2019\)