Câu hỏi của Stone Mr

Question

(a^2+b^2+c^2)/3$\ge$((a+b+c)/3)^2

Chứng minh bất đẳng thức trên

Giải giúp mình bài này nha, mình cần gấp

Phạm Nguyễn Tất Đạt · Accepted Answer

$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}$

$\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2$

$\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ca\ge0$

$\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0$(luôn đúng)

=>đpcmCâu trả lời: $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}$

$\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2$

$\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ca\ge0$

$\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0$(luôn đúng)

=>đpcm

Bài 3: Bất phương trình một ẩn