Question

a ) Tính A = \(\left(\frac{1}{2^2}-1\right)\left(\frac{1}{3^2}-1\right)\left(\frac{1}{4^2}-1\right)...\left(\frac{1}{100^2}-1\right)\)

b ) Tìm x và y biết : x , y \(\in\) Z và 2^x + 2^y = 2^x+y

Answer 1

a) \(A=\left(\frac{1}{2^2}-1\right)\left(\frac{1}{3^2}-1\right)\left(\frac{1}{4^2}-1\right)...\left(\frac{1}{100^2}-1\right)\)

\(A=\frac{-3}{2^2}.\frac{-8}{3^2}.\frac{-15}{4^2}...\frac{-9999}{100^2}\)

\(A=-\left(\frac{3}{2^2}.\frac{8}{3^2}.\frac{15}{4^2}...\frac{9999}{100^2}\right)\) (vì A là tích của 99 thừa số âm nên kết quả là âm)

\(A=-\left(\frac{1.3}{2.2}.\frac{2.4}{3.3}.\frac{3.5}{4.4}...\frac{99.101}{100.100}\right)\)

\(A=-\left(\frac{1.2.3...99}{2.3.4...100}.\frac{3.4.5...101}{2.3.4...100}\right)\)

\(A=-\left(\frac{1}{100}.\frac{101}{2}\right)=\frac{-101}{200}\)

b) 2^x + 2^y = 2^x+y

=> 2^x = 2^x.2^y - 2^y

=> 2^x = 2^y.(2^x - 1)

\(\Rightarrow2^x⋮2^x-1\)

Mà (2^x; 2^x - 1) = 1

\(\Rightarrow\begin{cases}2^x-1=1\\2^y=2^x\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}2^x=2=2^1\\x=y\end{cases}\)=> x = y = 1

Vậy x = y = 1