a) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = -mx-1. Tìm m thuộc Z để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 sao cho \(A=\dfrac{\left(x_1-x_2\right)2}{x_1+x_2+1}\) đạt giá trị nguyên.
b) Gọi A(3;9); B(-1;1) là 2 điểm trên (P) và M là điểm trên cung AB thuộc (P) (phần bị chắn bởi dây AB). Xác định tọa độ M trên cung AB sao cho diên tích tam giác MAB lớn nhất.
a/ Pt hoành độ giao điểm: \(x^2+mx+1=0\)
\(\Delta=m^2-4>0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -2\end{matrix}\right.\) ; khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=1\end{matrix}\right.\)
\(A=\dfrac{\left(x_1-x_2\right)^2}{x_1+x_2+1}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}{x_1+x_2+1}=\dfrac{m^2-4}{-m+1}\)
\(A=-m-1+\dfrac{3}{m-1}\)
Để A nguyên \(\Rightarrow\dfrac{3}{m-1}\) nguyên \(\Rightarrow m-1\inƯ\left(3\right)=\left\{-3;-1;1;3\right\}\)
Mà \(\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m-1>1\\m-1< -3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m-1=3\Rightarrow m=4\)
b/ Gọi \(M\left(a;b\right)\) với \(\left\{{}\begin{matrix}-1\le a\le3\\b=a^2\end{matrix}\right.\) và \(C\left(3;1\right)\)
\(\Rightarrow S_{MAB}=S_{ABC}-\left(S_{BCM}+S_{ACM}\right)\) \(\Rightarrow S_{MAB}\) lớn nhất khi và chỉ khi\(S_{BCM}+S_{ACM}\) nhỏ nhất
Ta có \(S_{BCM}+S_{ACM}=\left(x_C-x_B\right)\left(y_M-y_B\right)+\left(y_A-y_C\right)\left(x_A-x_M\right)\)
\(=4\left(b-1\right)+8\left(3-a\right)=4a^2-4+24-8a\)
\(=4\left(a^2-2a+1\right)+16=4\left(a-1\right)^2+16\ge16\)
\(\Rightarrow\left(S_{BCM}+S_{ACM}\right)_{min}=16\) khi \(a=1\)
Vậy khi tọa độ M là \(M\left(1;1\right)\) thì diện tích tam giác MAB nhỏ nhất
