Question

a) ∆BNC và ∆AMB có : BN =AM (gt)

Góc NBC= góc MAB

BC=AB (vì ∆ABC là tam giác đều) ⇒ ∆BNC= ∆AMB.

b) ∆BNC=∆AMB ⇒ góc AMP= góc BNP

Góc BNP+ góc ANP= 180^o (2 góc kề bù) ⇒ góc AMP + góc ANP=180^o

Vậy AMPN là một tứ giác nội tiếp

c) Thuận AMPN là tứ giác nội tiếp nên góc A+ góc NPM= 180^o

⇒ góc NPM = 180^o – góc A= 180^o-60^o=120^o

Góc BPC = góc NPM (2 góc đối đỉnh ⇒ góc BPC= 120^o

2 điểm B, C cố định nên khi N di động trên cạnh AB thì điểm P nằm trên cung chứa góc 120^o vẽ trên đoạn thẳng BC cố định.

Giới hạn N khác A và B nên P khác B và C

A và P nằm cùng phía với BC,

⇒ P nằm trên cung chứa góc 120^o vẽ trên đoạn BC cố định, cung này nằm trên nửa mặt phẳng chứa A bờ BC (P khác B và C)

Đảo Lấy điểm P’ bất kì trên cung chứa góc 1200 vẽ trên BC được xác định ở phần giới hạn BP’ cắt AC tại M’; CP’ cắt AB tại N’

Ta có: góc BP’C= 120^o ⇒ góc N’P’M’ = 120^o

⇒ góc A+ góc N’P’M’=60^o +120^o =180^o

⇒ AN’P’M’ là tứ giác nội tiếp

⇒ góc BN’C= góc AM’B

∆AM’B và ∆CN’B có góc BN’C= góc AM’B

Góc N’BC= góc M’AB (vì ∆BAC đều)

⇒ ∆AM’B ≈ ∆ BN’C

⇒ \(\dfrac{AM'}{BN'}=\dfrac{AB}{BC}\)== 1 (vì AB=BC) ⇒ BN’=AM’.

Kết luận: Khi N di động trên cạnh AB (N khác A và B) thì quỹ tích các điểm P là cung chứa góc 120^o vẽ trên đoạn thẳng BC cố định, cung này nằm trên nửa mặt phẳng chứa A bờ BC (P khác B và C)