Question

29. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số y=tan\(^2\)x+cot\(^2\)x+3(tanx+cotx)-1

Answer 1

ĐKXĐ: ....

Đặt \(a=tanx+cotx\Rightarrow a^2=\left(tanx+cotx\right)^2=\left(tanx-cotx\right)^2+4tanx.cotx\)

\(\Rightarrow a^2=\left(tanx-cotx\right)^2+4\ge4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a\le-2\\a\ge2\end{matrix}\right.\)

Ta cũng có: \(a^2=tan^2x+cot^2x+2\Rightarrow tan^2x+cot^2x=a^2-2\)

\(\Rightarrow y=a^2-2+3a-1=a^2+3a-3\)

\(\Rightarrow y\) đồng biến trên \(\left(2;+\infty\right)\) và nghịch biến trên \(\left(-\infty;-2\right)\)

\(\Rightarrow y_{max}\) không tồn tại

\(y\left(2\right)=8\) ; \(y\left(-2\right)=-2\Rightarrow y_{min}=-2\)