Question

218.

a) Chứng minh rằng với mọi \(n\in\) N*, thì:

\(A=n^5-5n^3+4n\) chia hết cho 120

b) Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương

Answer 1

a)\(A=n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)\)

\(=\left(n^4-n^2-4n^2+1\right)n\)

\(=\left[n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-1\right)\right]n\)

\(=\left(n^2-4\right)\left(n^2-1\right)n\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮120\)

Điều cuối đúng hay ta có ĐPCM

b)Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó lần lượt là \(a;a+1;a+2;a+3 (a;a+1;a+2;a+3 \in N)\)

Ta có;

\(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\)

\(=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)

Đặt \(a^2+3a=t\) thì ta có:

\(=t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1\)

\(=\left(t+1\right)^2=\left(a^2+3a\right)^2\) là số chính phương

Hay ta cũng có ĐPCM