Bài 4: Ôn tập chương nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Thị Kim Chi

1.Cho f(x) xác định có đạo hàm, liên tục đồng biến trên [1;4] thỏa mãn x + 2x\(f\)(x) = [\(f'\)(x)]2 ,\(\forall\) x \(\in\) [1;4], \(f\)(1) = \(\frac{3}{2}\). Giá trị \(f\)(4) bằng: A.\(\frac{381}{18}\) B.\(\frac{371}{18}\) C.\(\frac{391}{18}\) D.\(\frac{361}{18}\)

2.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = \(\sin\)|x| và y = |x| - \(\pi\) là S = a + b\(\pi^2\)thì giá trị 2a + b\(^3\):

A.9 B.\(\frac{9}{8}\) C.\(\frac{33}{8}\) D.24

3.Nguyên hàm của hàm số \(f\)(x) = 2x + \(\frac{1}{\sin^2x}\) thỏa mãn F(\(\frac{\pi}{4}\)) = -1 là: A. F(x) = -cotx + x\(^2\) - \(\frac{\pi^2}{4}\) B.F(x) = cotx - x\(^2\) + \(\frac{\pi^2}{16}\) C. F(x) = -cotx + \(x^2\) D.F(x) = -cotx + x\(^2\) - \(\frac{\pi^2}{16}\)

Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 3 2019 lúc 14:09

Câu 1: Xét trên miền [1;4]

Do \(f\left(x\right)\) đồng biến \(\Rightarrow f'\left(x\right)\ge0\)

\(x\left(1+2f\left(x\right)\right)=\left[f'\left(x\right)\right]^2\Leftrightarrow x=\frac{\left[f'\left(x\right)\right]^2}{1+2f\left(x\right)}\Leftrightarrow\frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1+2f\left(x\right)}}=\sqrt{x}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int\frac{f'\left(x\right)dx}{\sqrt{1+2f\left(x\right)}}=\int\sqrt{x}dx\Leftrightarrow\int\left(1+2f\left(x\right)\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(f\left(x\right)\right)=\int x^{\frac{1}{2}}dx\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1+2f\left(x\right)}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\)

Do \(f\left(1\right)=\frac{3}{2}\Rightarrow\sqrt{1+2.\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}.1\sqrt{1}+C\Rightarrow C=\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+2f\left(x\right)}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+\frac{4}{3}\)

Đến đây có thể bình phương chuyển vế tìm hàm \(f\left(x\right)\) chính xác, nhưng dài, thay luôn \(x=4\) vào ta được:

\(\sqrt{1+2f\left(4\right)}=\frac{2}{3}4.\sqrt{4}+\frac{4}{3}=\frac{20}{3}\Rightarrow f\left(4\right)=\frac{\left(\frac{20}{3}\right)^2-1}{2}=\frac{391}{18}\)

Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 3 2019 lúc 14:19

Câu 2:

Diện tích hình phẳng cần tìm là hai miền đối xứng qua Oy nên ta chỉ cần tính trên miền \(x\ge0\)

Hoành độ giao điểm: \(sinx=x-\pi\Rightarrow x=\pi\)

\(S=2\int\limits^{\pi}_0\left(sinx-x+\pi\right)dx=4+\pi^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2a+b^3=9\)

Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 3 2019 lúc 14:22

Câu 3:

\(F\left(x\right)=\int\left(2x+\frac{1}{sin^2x}\right)dx=x^2-cotx+C\)

\(F\left(\frac{\pi}{4}\right)=-1\Leftrightarrow\left(\frac{\pi}{4}\right)^2-cot\left(\frac{\pi}{4}\right)+C=-1\)

\(\Rightarrow C=-\frac{\pi^2}{16}\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=x^2-cotx-\frac{\pi^2}{16}\)


Các câu hỏi tương tự
Lê Thị Kim Chi
Xem chi tiết
Duy Tấn
Xem chi tiết
Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Lê Thị Kim Chi
Xem chi tiết
An Sơ Hạ
Xem chi tiết
Nguyễn Vi
Xem chi tiết
Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Minh Nguyệt
Xem chi tiết