1.Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ 2 dây AC // BD. Vẽ OH ⊥ AC và OK ⊥ BD.
a) Chứng minh OH ⊥ BD suy ra H, O, K thẳng gàng.
b) Chứng minh ΔAOH = ΔBOK suy ra AH = BK.
c) Chứng minh AC = BD.
2. Cho ΔABC nhọn (AB < AC ) nội tiếp ( O ) nội tiếp ( O ) có đường cao BD, CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh 4 điểm B, D, E, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AB.AE = AC.AD .
c) Vẽ đường kính AK của ( O ). Chứng minh BHCK là hình bình hành.
d) Vẽ OI ⊥ BC tại I. Chứng minh AH = 2.OI.
Bài 1:
a) Ta có: AC//BD(gt)
OH⊥AC(gt)
Do đó: OH⊥BD(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Ta có: OH⊥BD(cmt)
OK⊥BD(gt)
mà OH và OK có điểm chung là O
nên H,O,K thẳng hàng(đpcm)
b) Vì đường tròn (O) có AB là đường kính(gt)
nên O là trung điểm của AB
hay OA=OB
Xét ΔAOH vuông tại H và ΔBOK vuông tại K có
OA=OB(cmt)
\(\widehat{AOH}=\widehat{BOK}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔAOH=ΔBOK(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒AH=BK(hai cạnh tương ứng)
c) Ta có: ΔAOH=ΔBOK(cmt)
nên OH=OK(hai cạnh tương ứng)
Vì đường tròn (O) có CD là dây
nên OC=OD
Xét ΔCOH vuông tại H và ΔDOK vuông tại K có
OC=OD(cmt)
OH=OK(cmt)
Do đó: ΔCOH=ΔDOK(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒HC=KD(hai cạnh tương ứng)
Ta có: AC=AH+HC(H nằm giữa A và C)
BD=BK+DK(K nằm giữa B và D)
mà AH=BK(cmt)
và HC=DK(cmt)
nên AC=BD(đpcm)
