1.
Xét khai triển:
\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+...+C_n^nx^n\)
Đạo hàm 2 vế:
\(n\left(1+x\right)^{n-1}=C_n^1+2C_n^2x+...+nC_n^nx^{n-1}\)
Cho \(x=1\) ta được:
\(n.2^{n-1}=C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n\)
Vậy \(S=n.2^{n-1}\)
b.
Giả sử 1 tập hợp 2n quả bóng gồm n quả xanh và n quả đỏ
Số cách chọn n quả bóng bất kì:
- Cách 1: \(C_{2n}^n\)
- Cách 2: ta chọn \(k\) quả bóng xanh từ n quả bóng xanh kết hợp \(n-k\) quả bóng đỏ từ n quả bóng đỏ
\(\Rightarrow\sum\limits^n_{k=0}C_n^kC_n^{n-k}=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kC_n^k=\sum\limits^n_{k=0}\left(C_n^k\right)^2\)
Vậy \(\sum\limits^n_{k=0}\left(C_n^k\right)^2=C_{2n}^n\) hay \(P=C_{2n}^n\)
2.
SHTQ trong khai triển: \(C_n^k2^kx^k\)
Giả sử số hạng chứa \(x^k\) có hệ số lớn nhất
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}C_n^k2^k\ge C_n^{k-1}2^{k-1}\\C_n^k2^k\ge C_n^{k+1}2^{k+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{2^k.n!}{k!\left(n-k\right)!}\ge\frac{2^{k-1}.n!}{\left(k-1\right)!\left(n-k+1\right)!}\\\frac{2^k.n!}{k!\left(n-k\right)!}\ge\frac{2^{k+1}.n!}{\left(k+1\right)!.\left(n-k-1\right)!}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{k}\ge\frac{1}{2\left(n-k+1\right)}\\\frac{1}{n-k}\ge\frac{2}{k+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n-2k+2\ge k\\k+1\ge2n-2k\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k\le\frac{2n+2}{3}\\k\ge\frac{2n-1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{2n-1}{3}\le k\le\frac{2n+2}{3}\) (1)
Vậy hệ số lớn nhất là \(C_n^k2^k\) với k là số nguyên thỏa mãn (1)
