\(A=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}\)
Đặt: \(M=\dfrac{x}{x^2+1}\)
\(\Leftrightarrow M\left(x^2+1\right)=x\)
\(\Leftrightarrow Mx^2-x+M=0\left(1\right)\left(a=M,b=-1,c=M\right)\)
* Khi M = 0, pt (1) có nghiệm khi x = 0
* Khi M ≠ 0, pt (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\Delta=b^2-4ac\ge0\)
\(\Rightarrow\left(-1\right)^2-4.M.M\ge0\)
\(\Rightarrow-4M^2+1\ge0\)
\(\Rightarrow-\dfrac{1}{2}\le M\le\dfrac{1}{2}\)
Suy ra: \(Max_M=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{1}{2.\dfrac{1}{2}}=1\)
Tương tự:
Đặt \(N=\dfrac{y}{y^2+1}\)
MaxN = \(\dfrac{1}{2}\) khi y = 1
Suy ra MaxA = MaxM + MaxN = \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\)
Dấu " = " xảy ra khi: \(x=y=1\)
p/s: Mình chỉ làm thế thôi, ko chắc lắm, có gì sai sót xin bỏ qua ._.
