Question

1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phuong trình sau có nghiệm:

\(\sqrt{x-1}-2\sqrt[4]{x^2-x}+m\sqrt{x}\le0\)

2. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để bất phuong trình sau có nghiệm:

\(3\sqrt{x-3}+m\sqrt{x+3}>2\sqrt[4]{x^2-9}\)

Answer 1

1/ ĐKXĐ: \(x\ge1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{x-1}{x}}-2\sqrt[4]{\frac{x-1}{x}}+m\le0\)

Đặt \(\sqrt[4]{\frac{x-1}{x}}=t\Rightarrow0\le t< 1\)

BPT trở thành:

\(t^2-2t+m\le0\Leftrightarrow m\le-t^2+2t\)

Để BPT có nghiệm \(\Leftrightarrow m\le\max\limits_{[0;1)}\left(-t^2+2t\right)\)

Xét \(f\left(t\right)=-t^2+2t\) trên \([0;1)\)

\(-\frac{b}{2a}=1\in[0;1)\) ; \(a=-1< 0\Rightarrow f\left(t\right)_{max}=f\left(0\right)=0\)

\(\Rightarrow m\le0\)thì BPT có nghiệm

Answer 2

Bài 2:

ĐKXĐ: \(x\ge3\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{\frac{x-3}{x+3}}+m\ge2\sqrt[4]{\frac{x-3}{x+3}}\)

Đặt \(\sqrt[4]{\frac{x-3}{x+3}}=\sqrt[4]{1-\frac{6}{x+3}}=t\Rightarrow0\le t< 1\)

BPT đã cho trở thành:

\(3t^2+m\ge2t\Leftrightarrow m\ge-3t^2+2t\)

Để BPT có nghiệm

\(\Leftrightarrow m\ge\min\limits_{[0;1)}\left(-3t^2+2t\right)\)

Xét \(f\left(t\right)=-3t^2+2t\) trên \([0;1)\)

Ta có: \(a=-3< 0\) ; \(-\frac{b}{2a}=\frac{1}{3}\in[0;1)\)

\(f\left(0\right)=0\) ; \(f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\) ; \(f\left(1\right)=-1\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)>-1;\forall t\in[0;1)\)

\(\Rightarrow\) Để BPT đã cho có nghiệm thì \(m>-1\)

\(\Rightarrow\) Giá trị nguyên nhỏ nhất là \(m=0\)