Question

1. Tìm m để PT có nghiệm:

a) \(\sqrt{3}\cos^2x+\dfrac{1}{2}\sin2x=m\)

b) \(3\sin^2x-2\sin x\cos x+m=0\)

c) \(\sin^2x+2\left(m-1\right)\sin x\cos x-\left(m+1\right)\cos^2x=m\)

 

 

Answer 1

b.

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}\left(1-cos2x\right)-sin2x+m=0\)

\(\Leftrightarrow sin2x+\dfrac{3}{2}cos2x-\dfrac{3}{2}=m\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{13}}{2}\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}sin2x+\dfrac{3}{\sqrt{13}}cos2x\right)-\dfrac{3}{2}=m\)

Đặt \(\dfrac{2}{\sqrt{13}}=cosa\) với \(a\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{13}}{2}sin\left(2x+a\right)-\dfrac{3}{2}=m\)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\dfrac{-\sqrt{13}-3}{2}\le m\le\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}\)

Answer 2

Lý thuyết đồ thị:

Phương trình \(f\left(x\right)=m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(f\left(x\right)_{min}\le m\le f\left(x\right)_{max}\)

Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của pt lương giác bậc nhất (tùy bạn)

a.

\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(1-cos2x\right)+\dfrac{1}{2}sin2x=m\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}sin2x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=m\)

\(\Leftrightarrow sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=m\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi:

\(-1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le m\le1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Answer 3

c.

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cos2x+\left(m-1\right)sin2x-\left(m+1\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos2x\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)sin2x-\left(m+2\right)cos2x=3m\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất, pt có nghiệm khi:

\(\left(2m-2\right)^2+\left(m+2\right)^2\ge9m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-2\le0\)

\(\Leftrightarrow-2\le m\le\)