Question

1) Cho x₁,x_{2 là nghiệm của phương trình x² - 2x -1 =0 . Tính giá trị của biểu thức P=} (x₁)³ + (x₂)³

^{2) Cho điểm A là điểm nằm bên ngoài đường tròn (O) , gọi AB và AC lần lướt là hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O), vẽ cát tuyến ADE của đường tròn (O) ( Biết điểm D nằm giữa 2 điểm A và E, đường thẳng AE không đi qua điểm O)}

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC

b) Chứng minh: AB² = AD.AE

c) Đường thẳng đi qua điểm C song song với đường thẳng AE cắt đường tròn (O) tại điểm M, với M khác C. Gọi H là giao điểm của 2 đường thẳng BM và AE. Chứng minh HD = HE

Answer 1

1. Theo định lí Viet ta có :

\(\left[{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=-1\end{matrix}\right.\)

P = \(\left(x_1\right)^3+\left(x_2\right)^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1.x_2\left(x_1+x_2\right)\)

= \(2^3 - 3.(-1).2 = 8 + 6 = 14\)

Answer 2

2. Bạn tự vẽ hình nhé
a. Gọi N là trung điểm của AO

△ABO vuông tại B, trung tuyến BN có:

AN = BN = ON = \(\dfrac{1}{2}\)AO (1)

△ACO vuông tại C, trung tuyến CN có:

ON = BN = CN = \(\dfrac{1}{2}\)AO (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AN = BN = ON = CN = \(\dfrac{1}{2}\)AO

=> Bốn điểm A,B,O,C cùng thuộc đường tròn (N)

=> Tứ giác ABOC nội tiếp hay N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC

b. Xét △ABD và △AEB có:

\(\widehat{BAE}\) chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{BD}\))

=> △ABD ∼ △AEB

=> \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AE}\)

=> \(AB^2=AD.AE\)

c. Ta có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{HMC}\) (đồng vị)

\(\widehat{HMC}=\widehat{ACB}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{BC}\))

\(\widehat{ACB}=\widehat{AOB}\) (tứ giác ABOC nội tiếp)

=> \(\widehat{AHB}=\widehat{AOB}\)

=> Tứ giác ABHO nội tiếp

Lại có: \(\widehat{ABO}=90^0\)
=> \(\widehat{AHO}=90^0\)

=> OH ⊥ DE (đường kính OH vuông góc với dây DE)

=> H là trung điểm của DE hay DH = DE