1, cho tam giác ABC vuông tại A có BC= 12cm và AB=\(\frac{2}{3}\) AC. Tính chiều dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của chúng trên cạnh huyền.
2, Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, đường phân giác AD. Biết BD=15cm, DC=20cm . Tính BC, AB, AC, AH, HD.
3, Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Gọi I, J lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC . CM tỉ lệ thức \(\frac{BI}{CJ}=\frac{AB^3}{AC^3}\)
Bài 1:
Gọi $AH$ là hình chiếu trên cạnh huyền.
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $ABC$:
Ta thấy \(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(\Leftrightarrow (\frac{2}{3}AC)^2+AC^2=12^2\)
\(\Rightarrow AC=\frac{36\sqrt{13}}{13}\) (cm)
\(\Rightarrow AB=\frac{2}{3}AC=\frac{24\sqrt{13}}{13}\)
\(S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{AB.AC}{2}\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{\frac{24\sqrt{13}}{13}.\frac{36\sqrt{13}}{13}}{12}=\frac{72}{13}\) (cm)
Vậy.........
Bài 2:
\(BC=BD+DC=15+20=35\) (cm)
Áp dụng tính chất đường phân giác:
\(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\Rightarrow AB=\frac{3}{4}AC\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(\Leftrightarrow (\frac{3}{4}AC)^2+AC^2=35^2\)
\(\Rightarrow AC=28\) (cm)
\(\Rightarrow AB=\frac{3}{4}.AC=21\) (cm)
\(S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{AB.AC}{2}\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{21.28}{35}=16,8\) (cm)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $BHA$:
\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{21^2-16,8^2}=12,6\) (cm)
\(HD=BD-BH=15-12,6=2,4\) (cm)
Bải 3:
Xét tam giác $BHI$ và $BAH$ có:
$\widehat{B}$ chung
$\widehat{BIH}=\widehat{BHA}=90^0$
$\Rightarrow \triangle BHI\sim \triangle BAH(g.g)$
$\Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{BI}{BH}\Rightarrow BH^2=BA.BI(1)$ (đây chính là 1 trong những công thức trong hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Tương tự:
$\triangle CHJ\sim \triangle CAH(g.g)\Rightarrow CH^2=CA.CJ(2)$
$\triangle BHA\sim \triangle BAC(g.g)\Rightarrow BA^2=BH.BC(3)$
$\triangle CHA\sim \triangle CAB(g.g)\Rightarrow CA^2=CH.BC(4)$
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{BI}{CJ}=(\frac{BH}{CH})^2.\frac{CA}{BA}\)
Từ \((3);(4)\Rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac{AB^2}{AC^2}\)
\(\Rightarrow \frac{BI}{CJ}=(\frac{AB^2}{AC^2})^2.\frac{CA}{BA}=\frac{AB^3}{CA^3}\) (đpcm)
