a. Ta có:
\(A=\dfrac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^2+2a+1}=\dfrac{a^2.a+a^2+a^2-1}{a^2.a+a^2+a^2+a+a+1}=\dfrac{a^2\left(a+1\right)+a^2+a-a-1}{a^2\left(a+1\right)+a\left(a+1\right)+\left(a+1\right)}=\dfrac{a^2\left(a+1\right)+a\left(a+1\right)-\left(a+1\right)}{\left(a^2+a+1\right)\left(a+1\right)}=\dfrac{\left(a^2+a-1\right)\left(a+1\right)}{\left(a^2+a+1\right)\left(a+1\right)}=\dfrac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)b. Gọi ƯCLN (\(a^2+a-1;a^2+a+1\) ) = d ( \(d\in N\))
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2+a-1\right)⋮d\\\left(a^2+a+1\right)⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[\left(a^2+a-1\right)-\left(a^2+a+1\right)\right]⋮d\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+a-1-a^2-a-1\right)⋮d\) \(\Leftrightarrow\left(-2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow d\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\)(1)
Mà : (\(a^2+a-1\) và \(a^2+a+1\)) \(⋮̸\)2 ( số lẻ) (2)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow\)\(d\in\left\{\pm1\right\}\)(3)
Và : \(d\in N\) (4)
Từ (3),(4)\(\Rightarrow\)d=1
\(\Rightarrow\) ƯCLN(\(a^2+a-1;a^2+a+1\))=1
\(\Rightarrow\) \(a^2+a-1\) và \(a^2+a+1\)là 2 số nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\) là phân số tối giản
\(\Rightarrow\) A là phân số tối giản (Đpcm)
*Mình không chắc lắm, đây là cách làm của riêng mình
