1. Ta có:
\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( Nếu a, b ≥ 0)
=> \(a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
=> \(\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+2\sqrt{ab}\ge0+2\sqrt{ab}\)
=> \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) => \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{2}\)
=> \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\sqrt{ab}\);
(Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\) => a = b)
1. BĐT \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
2. BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge a+2\sqrt{ab}+b\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
3. Ta có: \(M=\frac{2}{\sqrt{1\cdot2005}}+\frac{2}{\sqrt{2\cdot2004}}+...+\frac{2}{\sqrt{1003\cdot1003}}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\sqrt{1\cdot2005}\le\frac{1+2005}{2}=1003\)
Do dấu "=" không xảy ra nên \(\sqrt{1\cdot2005}< 1003\)
Khi đó: \(\frac{2}{\sqrt{1\cdot2005}}>\frac{2}{1003}\)
Chứng minh tương tự với các phân thức còn lại rồi cộng vế ta được :
\(M>\frac{2006}{1003}>\frac{2005}{1003}\) ( đpcm )
Em có cách khác ở bài 2 nè:) Nhưng thôi làm 2 bài luôn bài 3 ý tưởng y hệt hà..
Bài 1: BĐT \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\left(true\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b
Bài 2: BĐT trên là thuần nhất (hay đồng bậc gì ấy) nên ta chuẩn hóa a + b =2.
Cần chứng minh: \(1\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
Thật vậy theo Cô si: \(RHS\left(VP\right)=\frac{\sqrt{1.a}+\sqrt{1.b}}{2}\le\frac{\frac{a+1}{2}+\frac{b+1}{2}}{2}=\frac{a+b+2}{4}=1=LHS\left(VT\right)\)
Ta có đpcm. True?
Cách 3 cho bài 2 (chắc chắn hơn)
Áp dụng BĐT Bunykovski:
\(VT=\frac{\sqrt{2\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2\right)}}{2}\ge\frac{\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}}{2}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}=VP\left(qed\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b
Cách 4:
\(VT=\frac{\sqrt{2\left(a+b\right)}}{2}\) . Bây giờ chú ý rằng ta có bđt \(\sqrt{2\left(a+b\right)}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\left(true\right)\)
Để thuyết phụ hơn, em sẽ giải thích vì sao có thể chuẩn hóa:*theo cách em hiểu từ những video bài giảng trên mạng*
Với a hoặc b = 0, dễ thấy bđt đúng. Đẳng thức xảy ra khi a = b = 0
Với a hoặc b > 0 thì a + b > 0. Khi đó chia cả hai vế bđt cho \(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\)
BĐT cần chứng minh quy về \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2\left(a+b\right)}}\le1\Leftrightarrow\frac{\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{a+b}}}{2}\le1\) (chia cả tử và mẫu của vt cho \(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\)). Đặt \(\frac{2a}{a+b}=x;\frac{2b}{a+b}=y\Rightarrow x+y=2\). và cần chứng minh
\(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}\le1\). BĐT này rất giống với bđt mà em đã giải ở trên sau khi đã chuẩn hóa và đó chính là lý do tại sao được chuẩn hóa:)) thực ra em nghĩ đi thi nên làm thế này thì hơn, chớ nhiều thầy cô bảo chuẩn hóa là cái gì => sai thì mất công em bị đổ oan:v
