Question

1. Cho 3 số thực a,b,c là 3 số thực dương.CMR:

\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)

2.Giải hpt:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\\y^2+xy-yz+x^2=0\\x^2-xy-yz-z^2=2\end{matrix}\right.\)

Ai giải giúp mik với.

Answer 1

Áp dụng BĐT Cauchy :

\(\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\le\dfrac{ab^2}{2ab}=\dfrac{b}{2}\)\(\Leftrightarrow a-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\dfrac{b}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\ge a-\dfrac{b}{2}\)

Tương tự : \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\dfrac{c}{2}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\dfrac{a}{2}\)

Cộng ba BĐT lại theo vế theo vế

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge\left(a+b+c\right)-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\)