Lời giải:
a)
Áp dụng định lý Pitago: $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (cm)
Theo tính chất tia phân giác:
$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
$\Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{3}{8}$
$\Rightarrow AD=AC.\frac{3}{8}=3$ (cm)
$DC=AC-AD=8-3=5$ (cm)
b)
Xét tam giác $BAD$ và $BHI$ có:
$\widehat{BAD}=\widehat{BHI}=90^0$
$\widehat{ABD}=\widehat{HBI}=\frac{\widehat{B}}{2}$
$\Rightarrow \triangle BAD\sim \triangle BHI$ (g.g)
$\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{HIB}$
$\Leftrightarrow \widehat{ADI}=\widehat{AID}$
$\Rightarrow \triangle AID$ cân tại $A$.
c)
Theo tính chất tia phân giác:
$\frac{AI}{IH}=\frac{AB}{BH}(1)$
Từ tam giác đồng dạng phần b thì:
$\frac{BD}{BI}=\frac{AB}{BH}(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{AI}{IH}=\frac{BD}{BI}$
$\Rightarrow AI.BI=BD.IH$
d)
Gọi $K$ là giao điểm $AN$ và $BD$
Tam giác $AID$ cân tại $A$ nên đường phân giác $AK$ đồng thời là đường cao.
$\Rightarrow AN\perp BD$
Tam giác $BAN$ có $BK$ là đường phân giác đồng thời là đường cao nên $BAN$ cân tại $B$
$\Rightarrow BK$ cũng là đường trung trực của $AN$
Mà $I\in BK$ nên $IA=IN$
$\Rightarrow \widehat{IAN}=\widehat{INA}$
Mặt khác: $\widehat{IAN}=\widehat{NAC}$
Do đó: $\widehat{INA}=\widehat{NAC}$. Hai góc này ở vị trí so le trong nên $IN\parallel AC$
