a) Đg tròn \(\left(O;R\right)\) có: \(AD\) là đường kính và \(B\in\left(O;R\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại B.
Mà BO là trung tuyến (O là trung điểm \(AD\))
\(\Rightarrow BO=DO=\dfrac{AD}{2}\)
Mà \(BO=BD\) (\(B,D\in\left(O;R\right)\))
\(\Rightarrow\Delta OBD\) đều.
b) Do \(BC\) là dây của \(\left(O;R\right)\) và \(AD\) là đường kính.
\(\Rightarrow AD\) là đg trung trực của \(BC\).
Mà \(BC\cap AD=I\) \(\Rightarrow\)I là trung điểm BC.
- Tứ giác \(BOCD\) có: 2 đg chéo OD và BC đi qua trung điểm mỗi đường.
\(\Rightarrow BOCD\) là hình bình hành.
Mà \(BC\perp OD\) tại I \(\Rightarrow BOCD\) là hình thoi.
- Theo định lí Py-ta-go, ta có:
\(BI^2+ID^2=BD^2\)
\(\Rightarrow BI=\sqrt{BD^2-ID^2}=\sqrt{OD^2-ID^2}=\sqrt{R^2-\dfrac{R^2}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}R\)
\(\Rightarrow BC=2BI=\sqrt{3}R\)
\(S_{BOCD}=\dfrac{1}{2}OD.BC=\dfrac{1}{3}R.\sqrt{3}R=\dfrac{\sqrt{3}}{3}R^2\)
