Bài toán tương đương với: chứng minh phương trình \(f\left(f\left(x\right)\right)-x=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm
Đặt \(g\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)-x\)
Hàm \(g\left(x\right)\) hiển nhiên liên tục trên \(\left[1;2021\right]\)
Ta có: \(g\left(1\right)=f\left(f\left(1\right)\right)-1\)
Do \(1\in\left[1;2021\right]\Rightarrow f\left(1\right)\in\left[1;2021\right]\Rightarrow f\left(f\left(1\right)\right)\in\left[1;2021\right]\)
\(\Rightarrow f\left(f\left(1\right)\right)-1\ge0\) hay \(g\left(1\right)\ge0\)
Lại có: \(g\left(2021\right)=f\left(f\left(2021\right)\right)-2021\)
Tương tự như trên: \(f\left(f\left(2021\right)\right)\in\left[1;2021\right]\Rightarrow f\left(f\left(2021\right)\right)\le2021\)
\(\Rightarrow g\left(2021\right)\le0\)
\(\Rightarrow g\left(1\right).g\left(2021\right)\le0\)
\(\Rightarrow g\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm trên đoạn \(\left[1;2021\right]\)
Hay luôn tồn tại \(x_0\in\left[1;2021\right]\) sao cho \(f\left(f\left(x_0\right)\right)=x_0\)
