Gọi M là trung điểm BC, và I là điểm thuộc AM sao cho \(\overrightarrow{IM}=-2\overrightarrow{IA}\)
Khi đó: \(4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=4\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IM}=4\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}\)
\(AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều); \(IA=\dfrac{1}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow IA^2=\dfrac{a^2}{12}\)
\(IM=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) ; \(IB^2=IC^2=\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2+IM^2=\dfrac{7a^2}{12}\)
Ta có:
\(4\overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2+\overrightarrow{MC}^2=\dfrac{7a^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow4\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)^2=\dfrac{7a^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow6MI^2+4IA^2+IB^2+IC^2+2\overrightarrow{MI}\left(4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)=\dfrac{7a^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow6MI^2+4IA^2+IB^2+IC^2=\dfrac{7a^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow6MI^2+\dfrac{3a^2}{2}=\dfrac{7a^2}{2}\Rightarrow MI=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow\) Tập hợp M là đường tròn tâm I bán kính \(R=MI=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
