a: Xét tứ giác BDEF có
C là trung điểm của BE
C là trung điểm của DF
Do đó: BDEF là hình hình hành
mà BE⊥DF
nên BDEF là hình chữ nhật
a. Vì C là trung điểm BE và DF nên BDEF là hình bình hành
Mà \(BE\bot DF\) tại C (ABCD là hcn) nên BDEF là hình thoi
b. Vì ABCD là hcn nên \(AC=BD\)
Lại có BDEF là hình thoi nên \(BD=DE\)
Do đó: \(AC=DE\)
c. Vì BDEF là hthoi nên C là trung điểm BE và DF
Mà ABCD là hcn nên \(CE=BC=AD;CE\text{//}AD\)
Do đó ADEC là hcn
Mà H là trung điểm CD nên H là trung điểm AE
Mà K là trung điểm EF nên HK là đtb \(\Delta AEF\)
Do đó HK//AF
d. Gọi \(\left\{G\right\}=AF\cap BC\)
Ta có \(S_{ADH}=\dfrac{1}{2}AD\cdot HD=\dfrac{1}{2}CE\cdot CH=S_{CHE}\)
Cmtt câu c ta được ABFC là hình bình hành
Do đó G là trung điểm AF và BC
Do đó \(S_{ABG}=\dfrac{1}{2}AB\cdot BG=\dfrac{1}{2}CF\cdot CG=S_{CGF}\)
Lại có EG,FH là trung tuyến \(\Delta AEF\) cắt nhau tại C
Do đó C là trọng tâm \(\Delta AEF\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{CEF}}{S_{HEF}}=\dfrac{CF}{HF}=\dfrac{2}{3};\dfrac{S_{HEF}}{S_{AEF}}=\dfrac{HE}{AE}=\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow\dfrac{S_{CEF}}{S_{AEF}}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow S_{CEF}=\dfrac{1}{3}\cdot30=10\left(cm^2\right)\\ S_{ABCD}=S_{AHD}+S_{ABG}+S_{AHCG}=S_{CHE}+S_{GCF}+S_{AHCG}=S_{AEF}-S_{CEF}=30-10=20\left(cm^2\right)\)
