\(u_{n+1}-2=u_n^2-3u_n+2=\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}-2}=\dfrac{1}{\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)}=\dfrac{1}{u_n-2}-\dfrac{1}{u_n-1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{u_n-1}=\dfrac{1}{u_n-2}-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\) (1)
Thế n lần lượt từ \(1\) đến \(n\) vào (1) ta được:
\(\dfrac{1}{u_1-1}=\dfrac{1}{u_1-2}-\dfrac{1}{u_2-2}\)
\(\dfrac{1}{u_2-1}=\dfrac{1}{u_2-2}-\dfrac{1}{u_3-2}\)
....
\(\dfrac{1}{u_n-1}=\dfrac{1}{u_n-2}-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)
Cộng vế với vế: \(v_n=\dfrac{1}{u_1-2}-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)
Do dãy tăng và không bị chặn trên \(\Rightarrow\lim\left(u_{n+1}-2\right)=+\infty\)
\(\Rightarrow\lim\left(v_n\right)=\lim\left(\dfrac{1}{3-2}-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\right)=1-0=1\)
