\(\Leftrightarrow2sin2x.cos2x-\left(2cos^22x-1\right)=1+4\left(sinx-cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow cos2x\left(sin2x-cos2x\right)=2\left(sinx-cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(cos^2x-sin^2x\right)\left(sin2x-cos2x\right)=2\left(sinx-cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)\left(sinx+cosx\right)\left(cos2x-sin2x\right)=2\left(sinx-cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=cosx\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\\left(sinx+cosx\right)\left(cos2x-sin2x\right)=2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét \(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right).\sqrt{2}cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=2\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right).cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow sin\left(3x+\dfrac{\pi}{2}\right)-sinx=2\)
\(\Leftrightarrow cos3x-sinx=2\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}-sinx\le1\\cos3x\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow cos3x-sinx\le2\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}-sinx=1\\cos3x=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\dfrac{k2\pi}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa mãn
Vậy nghiệm của pt là \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)
