Giải phương trình

\(\dfrac{\left(x-a\right)\left(x-c\right)}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=1\)(a,b,c là hằng và khác nhau đôi một)

Tìm số chính phương lớn nhất, biết rằng nếu xoá 2 chữ số tận cùng của nó(2chữ số này ko cùng bằng 0),ta lại được 1 số chính phương

Có:

\(1.\)\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=a^2-b^2+2bc-c^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\)

\(2.\)\(\left(-a+b+c\right)\left(a+b-c\right)=-a^2+b^2-c^2+2ac\)

\(\Rightarrow\left(-a+b+c\right)\left(a+b-c\right)=b^2-\left(a-c\right)^2\le b^2\)

\(3.\)\(\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)=-a^2-b^2+c^2+2ab\)

\(\Rightarrow\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\)

Nhân từng vế 3 bất đẳng thức trên

\(\Rightarrow\left[\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\right]^2\le a^2b^2c^2\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Bất đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

Có:

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}=1\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\right)\left(a+b+c\right)=a+b+c\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}\left(a+b+c\right)+\dfrac{b}{a+c}\left(a+b+c\right)+\dfrac{c}{a+b}\left(a+b+c\right)=a+b+c\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{b^2+b\left(a+c\right)}{a+c}+\dfrac{c^2+c\left(a+b\right)}{a+b}=a+b+c\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+a+\dfrac{b^2}{a+c}+b+\dfrac{c^2}{a+b}+c=a+b+c\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=a+b+c-a-b-c\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=0\left(đpcm\right)\)

Có:

\(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ac\right)^2\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=2\left[a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+abc\left(a+b+c\right)\right]\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+1=2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+1\)

Có:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ac\right)^2\)

\(\Rightarrow4\left(ab+bc+ac\right)^2=196\)

\(\Rightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2=49\)

\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=49\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+1=2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+1\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+1=2.49+1\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+1=99\)