a)Trường hợp không ma sát:
\(\dfrac{P}{P_k}=\dfrac{600}{120}=5\) \(\Rightarrow\) Dùng palang để được lợi 5 lần về lực.

Mà dùng Palang được lợi 5 lần về lực và thiệt 5 lần về đường đi.

\(\Rightarrow S=5\cdot9=45m\)

Công thực hiện: \(A=F_k\cdot S=120\cdot45=5400J\)

b)Trường hợp có lực cản 20N.

Lực có ích: \(F_i=F_k-F_{cản}=120-20=100N\)

\(\dfrac{P}{F_i}=\dfrac{600}{100}=6\Rightarrow\) Dùng palang để được lợi 6 lần về lực.

Mà dùng palang lợi 6 lần về lực thì thiệt 6 lần về đường đi.

\(\Rightarrow S=6\cdot9=54m\)

Công thực hiện: \(A=F_k\cdot S=120\cdot54=6480J\)

a)\(v_{max}=\omega A=5\pi^2\approx50\left(cm/s\right)\)

Tần số góc: \(\omega=\pi\left(rad\right)\)

Chu kì: \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{\pi}=2s\)

Pha ban đầu của vận tốc: \(\varphi=\dfrac{\pi}{3}\)

b)Tại thời điểm \(t=0,25s\):

\(\Rightarrow v=5\pi cos\left(\pi\cdot0,25+\dfrac{\pi}{3}\right)\approx-4,065m/s\)

Biểu thức động năng biến thiên theo thời gian:

\(W_đ=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}\cdot m\omega^2A^2sin^2\left(\omega t+\varphi\right)\)

\(\Rightarrow W_đ=\dfrac{1}{2}\cdot0,5\cdot0,1^2\cdot sin^2\left(\pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)=0,0025sin^2\left(\pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)\left(J\right)\)

Biểu thức thế năng biến thiên theo thời gian:

\(W_t=\dfrac{1}{2}kx^2=\dfrac{1}{2}kA^2cos^2\left(\omega t+\varphi\right)\)

\(\Rightarrow W_t=\dfrac{1}{2}\cdot m\omega^2A^2cos^2\left(\omega t+\varphi\right)=0,025cos^2\left(\pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)\left(J\right)\)

\(E=\dfrac{a+1}{a-1}=\dfrac{a-1+2}{a-1}=1+\dfrac{2}{a-1}\)

\(E\in Z\Rightarrow2⋮\left(a-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\inƯ\left(2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\in\left\{-1;1;-2;2\right\}\) và \(a\in Z\)

\(\Rightarrow a=\left\{0;2;-1;3\right\}\)

Một con lắc đơn dao động với biên độ góc \(\alpha\) nhỏ. Chu kì con lắc phụ thuộc vào cả chiều dài và vị trí nơi đặt con lắc trên mặt đất.

Khi đó chu kì áp dụng theo công thức: \(T=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{l}{g}}\)

Với chiều dài \(l\) không đổi và tỉ lệ với \(T^2\).

Chu kì dao động con lắc lò xo: 

\(T=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{m}{k}}=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{0,4}{200}}=\dfrac{\pi\sqrt{5}}{25}\left(s\right)\)

Tần số góc: \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{\dfrac{\pi\sqrt{5}}{25}}=10\sqrt{5}\left(rad\right)\)

Biên độ dao động:

\(A=\sqrt{x^2+\dfrac{v^2}{\omega^2}}=\sqrt{2^2+\dfrac{\left(20\sqrt{2}\right)^2}{\left(10\sqrt{5}\right)^2}}=\dfrac{2\sqrt{35}}{5}\approx2,4\left(cm\right)\)

Gốc thời gian là lúc vật ở VTCB nên \(\varphi_0=0\)

PT dao động:

\(x=Acos\left(\omega t+\varphi_0\right)=2,4cos\left(10\sqrt{5}t\right)\) (cm)