Cho các số dương a,b,c cs abc=1 Chứng minh rằng

\(\dfrac{a^3}{\left(b+2\right)\left(c+3\right)}+\dfrac{b^3}{\left(c+2\right)\left(a+3\right)}+\dfrac{c^3}{\left(a+2\right)\left(b+3\right)}\ge\dfrac{1}{4}\)

Đặt A=\(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+2}\)\(\Rightarrow Ax+A\sqrt{x}+2A-\sqrt{x}+1=0\)

\(\Leftrightarrow Ax+\sqrt{x}\left(A-1\right)+2A+1=0\)

\(\Delta=\left(A-1\right)^2-4A\left(2A+1\right)=A^2-2A+1-8A^2-4A\)\(=-7A^2-6A+1\ge0\)

\(\Rightarrow-1\le A\le\dfrac{1}{7}\)

Vậy Max A là \(\dfrac{1}{7}\)

Dâu"=" xảy ra \(\Leftrightarrow A=\dfrac{1}{7}\)

\(\Leftrightarrow7\sqrt{x}-7=x+\sqrt{x}+2\)

\(\Leftrightarrow x-6\sqrt{x}+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-3\right)^2=0\Leftrightarrow x=9\)

Ta có hàm số cắt trục tung tại tung độ bằng 2=> x=0,y=2

Thay vào hàm số 

2=m+1=> m=1

Ta có \(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow2ab\le1\Rightarrow ab\le\dfrac{1}{2}\)( áp dụng cosi cho 2 số dương)

Ta có BĐT \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)(*)

Thật vậy (*)\(\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\le2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2\sqrt{2}\)

Vậy S=ab+2(a+b)\(\le2\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4\sqrt{2}+1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

À thì là hàm số đồng biến khi và chỉ khi a>0 <=> 1-m>0=> m<1

\(\Leftrightarrow3x^2-5x-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-8\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

Khum đựt lun á hình bị lỗi ròi

Xét tam giác HAC vuông tại H có

HC=\(\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{8^2-4,8^2}=6,4\)(cm)

Xét tam giác ABC có AH là đường cao

\(\Rightarrow AH^2=HC.BH\Rightarrow BH=\dfrac{AH^2}{HC}=\dfrac{4,8^2}{6,4}=3,6\)(cm)

=> BC=BH+HC=6,4+3,6=10(cm)

Ta có\(AH.BC=AC.AB\Rightarrow AB=\dfrac{AH.BC}{AC}=\dfrac{4,8.10}{8}=6\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}.8.6=24\left(cm^2\right)\)