a) Xét tứ giác ANDM:

\(\widehat{A}=90^o\) \((\Delta ABC\) vuông tại A\().\)

\(\widehat{AMD}=90^o\left(DM\perp AB\right).\)

\(\widehat{AND}=90^o\left(DN\perp AC\right).\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác ANDM là hình chữ nhật (dhnb).

\(\Rightarrow\) AD = MN (Tính chất hình chữ nhật).

b) Gọi K là trung điểm của AD.

Xét \(\Delta AHD\) vuông tại H:

K là trung tuyến của AD (K là trung điểm của AD).

\(\Rightarrow\) \(HK=\dfrac{1}{2}AD\) (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Mà \(AD=MN\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\) \(HK=\dfrac{1}{2}MN.\)

Xét \(\Delta MHN:\)

\(HK=\dfrac{1}{2}MN\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\Delta MHN\) vuông tại H.

\(\Rightarrow\) \(\widehat{MHN}=90^o.\)

a) Xét \(\Delta ABI\) vuông tại A và \(\Delta HBI\) vuông tại H:

BI chung.

\(\widehat{ABI}=\widehat{HBI}\) (BI là phân giác \(\widehat{B}\)).

\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta HBI\) (cạnh huyền - góc nhọn).

\(\Rightarrow BA=BH.\)

Xét \(\Delta ABH:BA=BH\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\Delta ABH\) cân tại B.

Mà \(\widehat{B}=60^o\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\Delta ABH\) đều.

b) Ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}BK=BA+AK.\\BC=BH+HC.\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BA=BH\left(cmt\right).\\AK=HC\left(gt\right).\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow BK=BC.\)

Xét \(\Delta BCK:BK=BC\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\Delta BCK\) cân tại B.

Mà \(\widehat{B}=60^o\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\Delta BCK\) đều.

c) Xét \(\Delta BCK\) đều:

BI là phân giác (gt).

\(\Rightarrow BI\) là đường cao.

Xét \(\Delta BCK:\)

BI là đường cao (cmt).

CA là đường cao \(\left(CA\perp BA\right).\)

I là giao điểm của BI, CA.

\(\Rightarrow\) I là trực tâm.

\(\Rightarrow\) KI là đường cao.

\(\Rightarrow KI\perp BC.\)

Mà \(IH\perp BC\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\) K; I; H thẳng hàng.

\(d)\Rightarrow\sqrt{4\left(6+2\sqrt{5}\right)}+\sqrt{5-2.2\sqrt{5}+4.}\\ =2\sqrt{\left(1+2\sqrt{5}+5\right)}+\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}.\\ =2\sqrt{\left(1+\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{5}-2.\\ =2\left(1+\sqrt{5}\right)+5-\sqrt{2}.\\ =2+2\sqrt{5}+\sqrt{5}-2.\\ =6\sqrt{5}.\)

a) Xét tứ giác BCEF có:

\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^o\right).\)

Mà 2 đỉnh F; E kề nhau, cùng nhìn cạnh BC.

\(\Rightarrow\) Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (dhnb).

b) Vì tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (cmt).

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ABC}.\)

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC:\)

\(+\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\left(cmt\right).\)

\(+\widehat{FAE}\) \(chung.\)

\(\Rightarrow\text{​​}\text{​​}\Delta AEF\sim\text{​​}\text{​​}\Delta ABC\left(g-g\right).\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}.\\ \Rightarrow AE.BC=EF.AB.\)

a) Xét \(\Delta ABD\) vuông tai B và \(\Delta AHD\) vuông tại H:

AD chung.

\(\widehat{BAD}=\widehat{HAD}\) (AD là phân giác).

\(\Rightarrow\Delta ABD=\text{​​}\Delta AHD\) (cạnh huyền - góc nhọn).

\(\Rightarrow AB=AH.\)

Xét \(\Delta ABH:AB=AH\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\Delta ABH\) cân tại A.

Xét \(\Delta ABH\) cân tại A:

AD là phân giác \(\widehat{A}\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\) AD là đường cao.

\(\Rightarrow AD\perp BH.\)

b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B:

\(\widehat{A}=60^o\left(gt\right).\Rightarrow\widehat{C}=30^o.\)

AD là phân giác \(\widehat{A}\left(gt\right).\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\dfrac{1}{2}\widehat{A}=30^o.\)

Xét \(\Delta DAC:\widehat{CAD}=\widehat{C}\left(=30^o\right).\)

\(\Rightarrow\Delta DAC\) cân tại D.

Xét \(\Delta DAC\) cân tại D:

DH là đường cao \(\left(DH\perp AC\right).\)

\(\Rightarrow\) DH là đường trung tuyến.

​\(\Rightarrow\) H là trung điểm AC.​

\(\Rightarrow HA=HC.\)

\(\sqrt{x^2+4x+4}=\sqrt{\left(x+2\right)^2}=x+2.\)

ĐKXĐ: \(x\in R.\)

\(\sqrt{x^2+2x+3}=\sqrt{x^2+2x+1+2}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+2.}\)

Ta có: \(\left(x+1\right)^2+2>0\forall x\in R.\)

\(\rightarrow\) ĐKXĐ: \(x\in R.\)

\(\sqrt{x^2-2x+2}=\sqrt{x^2-2x+1+1}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}.\)

Ta có: \(\left(x+1\right)^2+1>0\forall x\in R.\)

\(\rightarrow\) ĐKXĐ: \(x\in R.\)

Bài 1:

\(a.\sqrt{\dfrac{121}{144}}=\dfrac{11}{12}.\\ b.\sqrt{1\dfrac{17}{64}}=\sqrt{\dfrac{81}{64}}=\dfrac{9}{8}.\)

Bài 2:

\(a)\left(\sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{72}\right):\sqrt{2}.\\ =\left(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-6\sqrt{2}\right):\sqrt{2}=2\sqrt{2}:\sqrt{2}=\sqrt{2}.\)

\(b)\left(\sqrt{20}+\sqrt{500}-3\sqrt{45}\right):\sqrt{5}.\\ =\left(2\sqrt{5}+10\sqrt{5}-9\sqrt{5}\right):\sqrt{5}=3\sqrt{5}:\sqrt{5}=3.\)

Bài 3:

\(a)\left(\sqrt{\dfrac{1}{7}}-\sqrt{\dfrac{16}{7}}+\sqrt{7}\right):\sqrt{7}.\\ =\left(\dfrac{1}{\sqrt{7}}-\dfrac{4}{\sqrt{7}}+\sqrt{7}\right):\sqrt{7}=\left(\dfrac{-3}{\sqrt{7}}+\sqrt{7}\right):\sqrt{7}=\dfrac{-3}{7}+1=\dfrac{4}{7}.\)

\(b)\dfrac{\sqrt{9-4\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5-2.2\sqrt{5}+4}}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}=1.\)

a. Để hàm số trên là hàm số bậc nhất.

\(\Rightarrow m-2\ne0.\Leftrightarrow m\ne2.\)

b. Để hàm số trên đồng biến.

\(\Rightarrow m-2>0.\Leftrightarrow m>2.\)

c. Để hàm số trên nghịch biến.

\(\Rightarrow m-2< 0.\Leftrightarrow m< 2.\)

d. Để đồ thị hàm số đi qua \(A\left(1;-5\right).\)

\(\Rightarrow-5=\left(m-1\right).1-2.\\ \Leftrightarrow m-1-2=-5.\\ \Leftrightarrow m-3=-5.\\ \Leftrightarrow m=-2.\)