xét (O) có góc AFB = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

góc FEB = FAB ( 2 góc nội tiếp cùng chắn FB) => cot góc FEB = cot góc FAB

ta có góc IFA + AFB + BFK = 180 

=> góc IFA + góc BFK + 90 =180 => góc  IFA + góc BFK = 90 

xét tam giác IFA vuông tại I => góc IFA + góc IAF = 90 ( tc )

=> góc IAF = góc BFK ( cùng phụ với góc IFA)

xét tam giác IFA và tam giác KBF có 

góc IAF = góc BFK

góc I = góc K = 90 

=> tam giác đồng dạng 

=> IF/BK = AF/BF ( tỉ số đồng dạng)

xét tam giác AFB vuông tại F 

có cot FAB = AF/BF ( tỉ số lg giác)

xét tam giác EKB vuông tại K có

cot FEB = EK/BK (tỉ số lg giác)

mà cot FAB = cot FEB

=> AF/BF=EK/BK = IF/BK 

=> IF = EK 

mà IF = IE + EF ; EK=FK+EF => IE=FK

b) xét tứ giác APHN có 

góc A = góc P = góc N = 90 => APHN là HCN 

gọi giao của AH và PN là E 

=> E thuộc PN (1)

=> E là trung điểm của AH ( tc HCN)

xét tứ giác AEMO có 

AE =OM = 1/2 .AH 

mà AE // OM => ADOM là hình bình hành => ME // AO (2)

kẻ AH cắt BC tại T => AT vuông BT => ATB = 90 

kẻ đường kính AK của đường tròn => ACK = 90 ( góc nội tiếp chắn 1/2 đg tròn) => AC vuông CK 

xét tam giác ATB và tam giác ACK có 

góc ATB = ACK = 90 

góc ABT = góc AKC cùng chắn AC 

=> đồng dạng ( gg)

=> góc BAH = góc OAC ( 2 góc tương ứng) 

lại có AD là phân giác góc BAC => góc BAD = góc CAD 

mà góc BAH + góc HAD = góc BAD

góc OAC + góc DAO = góc CAD 

=> góc DAO = góc HAD 

xét HCN APHN có 

góc HAD = góc ANP

=> góc DAO = góc ANP mà 2 góc ở vị trí so le trong => PN // AO (3)

từ 1-2-3=> 4 điểm P,E,N,M thẳng hàng

điểu kiện x>=2

\(< =>\dfrac{\sqrt{x+3}^2-\sqrt{x-2}^2}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-2}}\left(1+\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\right)=5\)

\(< =>\dfrac{5}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-2}}\left(1+\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\right)=5\)

\(< =>\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-2}}\left(1+\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\right)=1\)

\(< =>1+\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\sqrt{x+3}+\sqrt{x-2}\)

đặt \(\sqrt{x+3}=a;\sqrt{x-2}=b\)

ta được \(1+ab=a+b< =>\left(a-1\right)\left(b-1\right)=0< =>\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}=1\\\sqrt{x-2}=1\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x=-2\left(ktm\right)\\x=3\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

a) vì OH vuông góc với ED tại H => H là trung điểm của ED ( liên hệ đường kính và dây ) 

=> AE+AD=AE+AE+EH+DH=2AH 

=> AD+AE-AH=AH 

xét tứ giác AHOC có

góc ACO + góc AHO = 180 => tứ giác nội tiếp 

AHO = 90 = 1/2 số đo cung AO => sđ cung AO =180 => AO là đường kính

để AH đạt max => AH = AO => H trùng O => => d trùng AO => A,O,D thẳng hàng 

b) xét tứ giác MEOD có

MEO + MDO = 180 => tứ giác nội tiếp (1)

kẻ BC cắt AO tại K 

xét (O)

AB,AC là 2 tiếp tuyến của (o) 

B,C là tiếp điểm 

=> AB = AC ( tc 2 tt cắt nhau)

mà OB =OC=R

=> AO thuộc trung trực của BC=> AO vuông BC tại K 

xét tam giác ABO vuông tại B đường cao BK 

=> AB^2=AK.AO (hệ thức lg)

xét tam giác ABE và tam giác ADB có

góc BAE chung 

ABE = ADB ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn EB)

=> tam giác ABE đồng dạng với tam giác ADB  (gg)

=>AE.AD=AB^2

=> AE.AD=AK.AO

=> AE/AO=AK/AD

xét tam giác AEK và tam giác AOD có

góc EAK chung 

AE/AO=AK/AD

=> tam giác AEK đồng dạng với AOD (c-g-c)

=> góc EDO = góc AKE (2 góc tương ứng)

=> tứ giác EDOK nt ( góc ngoài đỉnh K = góc trong đỉnh đối ( đỉnh D) (2)

từ 1-2 => 5 điểm M,E,K,O,D thuộc đường tròn 

=> góc MKO + MDO = 180 => góc MKO=90 => MK vuông với AO mà BC vuông với AO=> M,B,C thẳng hàng

Mà A cố định , đường tròn (O) cố định => B,C cố định (là tiếp điểm kẻ từ A đến đường tròn (O)

=> M di chuyển trên đường thẳng BC cố định khi D di chuyển

\(5x^2+xy+y^2=\dfrac{11}{4}\left(x+y\right)^2+\dfrac{9}{4}\left(x-y\right)^2\ge\dfrac{11}{4}\left(x+y\right)^2\)

chứng minh tương tự 

\(5y^2+yz+5z^2\ge\dfrac{11}{4}\left(y+z\right)^2\)

\(5z^2+xz+5x^2\ge\dfrac{11}{4}\left(x+z\right)^2\)

=> \(A\ge\dfrac{\sqrt{11}}{2}\left(x+y+y+z+x+z\right)=\sqrt{11}\left(x+y+z\right)=a\sqrt{11}\)

dấu "=" xảy ra khi x=y=z=a/3

\(P\ge\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}\ge2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{3}\ge6\)

Dau "=" xay ra khi a=b=c=1 

cho biểu thức trên = P 

\(P=\left(xy\right)^2+\dfrac{1}{\left(xy\right)^2}+2=256\left(xy\right)^2+\dfrac{1}{\left(xy\right)^2}+2-255\left(xy\right)^2< =>P\ge34-255\left(xy\right)^2\)

ta lại có \(x+y\ge2\sqrt{xy}=>1\ge2\sqrt{xy}=>\dfrac{1}{16}\ge\left(xy\right)^2\)

=> \(P\ge34-\dfrac{255}{16}=18\dfrac{1}{16}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=1/2