Gọi tuổi của An, Hân, Hiếu lần lượt là `a;b;c ` (tuổi)

Điều kiện: a;b;c là các số tự nhiên

Do Số tuổi của ba anh em An; Hân; Hiếu tỉ lệ với `3; 5; 1`

`=> a/3 = b/5 = c`

Mà Tổng số tuổi của AN và Hiếu bé hơn Hân 2 tuổi

`=> b - (a + c) = 2`

`=> b - a - c = 2`

Áp dụng t/chất dãy t/số bằng nhau: 

`=> a/3 = b/5 = c = (b-a-c)/(5-3-1) = 2/1 = 2`

`=> a = 6;b=10;c=2`

Vậy ...

a) Sửa đề: Giao HG với AD là I

Do D là trung điểm BC, tam giác ABC cân tại A

=> AD vuông BC

=> GE // AD // HF

Xét tam giác ABD có: 

GE // AD

`=> (BG)/(BA) = (BE)/(BD)`

Tương tự: `(HC)/(AC) = (FC)/(CD)`

Mà `BA = AC; FC = BE; AC = CD`

`=> BG = BE`

Nửa chu vi mảnh vườn: `176 : 2 = 88 (m)`

Chiều dài mảnh vườn: `88 : (3+5) xx 5 = 55 (m)`

Chiều rộng mảnh vườn: `88 - 55 =  33 (m)`

S mảnh vườn: `55 xx 33 = 1815 (m^2)`

S bể là: `2 xx 2 xx 3,14 = 12,56 (m^2)`

S còn lại là: 

`1815 - 12,56 = 1802,44 (m^2)`

Đáp số: ...

b) Sửa đề: Qua B kẻ đường thẳng song song AC cắt AH tại K

Từ câu a, tam giác AHB = tam giác AHC => AC = AB và BH = HC

Xét tam giác AHC và tam giác KHB có: 

`hat{C} = hat{KBH}` (2 góc so le trong)

BH = HB (cmt)

`hat{AHC} = hat{BHK} = 90^o `

=> Tam giác AHC và tam giác KHB (góc - cạnh - góc)

=> AC = BK

=> BK = AB (đpcm)

Xét đường tròn (O) có Mt tiếp tuyến tại A

=> OA vuông góc Mt tại A

`=> hat{OAM} = 90^o`

Do I là trung điểm BC

=> OI vuông góc BC tại I

`=> hat{OIM} = 90^o`

Xét tứ giác OIMA có: 

`hat{OAM} + hat{OIM} = 180^o `

=> Tứ giác nội tiếp (đpcm)

c) Tương tự câu a, tam giác AEH = tam giác KEH

`=> hat{AEH} = hat{HEK}`

=> EK là phân giác của `hat{AEK}`

Xét tam giác AKD có:

H là trung điểm AK

E là trung điểm AD

=> HE là đường trung bình tam giác AKD

=> HE // KD

=> KD // BC

a) Xét tam giác ACH và KCH có: 

AH = HK (H là trung điểm AK)

`hat{AHC} = hat{KHC} = 90^o`

HC chung

=> Tam giác ACH = tam giác KCH

b) Tam giác ACH = tam giác KCH => AC = KC

Xét tam giác AEC và DEB có: 

AE = ED (E là trung điểm AD)

`hat{AEC} = hat{BED}` (2 góc đối đỉnh)

BE = EC (E là trung điểm BC)

=> Tam giác AEC = tam giác DEB => AC = BD

`=> AC = BD = KC`

Bán kính hình tròn B là: `1 : 2 = 0,5 (dm) = 5 (cm)`

Bán kính hình tròn C là: `28,26 : 3,14 : 2 = 4,5 (cm)`

=> Hình tròn A có chu vi bé nhất, hình tròn B có chu vi lớn nhất

=> Hình tròn A có S bé nhất, hình tròn B có S lớn nhất 

=> Tên các hình tròn thứ tự có diện tích lớn dần là: `A; C ; B` (Thứ tự bán kính)

Sửa đề: MN giao AH tại O

Xét tứ giác AMHN có: `hat{MAN} = hat{AMH} = hat{ANH} = 90^o`

=> tứ giác AMHN là hình chữ nhật

=> O là trung điểm AH

Xét tam giác AHB có: O là trung điểm MN; OI // AB

=> I là trung điểm `AB => IH = 1/2 BH`

Tương tự: E là trung điểm HC

`=> EH = 1/2 HC`

`=> IH + EH = 1/2 (HC + HB)`

`=> IE = 1/2 BC`

`=> IE 1/2 . 15 = 15/2 (cm)`

a) Tam giác AHB và AHC vuông tại `H => AH < AB; AH < AC`

`=> AH + AH < AB + AC`

`=> 2 AH < AB + AC`

`=> AH < (AB + AC)/2`