Xét tam giác vuông FQA và tam giác vuông HQA:
QA chung
FQ = HQ
=> tam giác FQA = tam giác HQA (2 cạnh góc vuông) (1)
=> QAF = QAH (2 góc tương ứng)
Xét tam giác vuông HPA và tam giác vuông EPA:
AP chung
PH = PE
=> tam giác HPA = tam giác EPA (2 cạnh góc vuông) (2)
=> HAP = EAP (2 góc tương ứng)
Ta có: QAH + PAH =QAP =90o
và FAQ + QAH + HAP +PAE= 2 * QAH + 2* HAP = 2 (QAH + HAP) = 2* 90o = 180o
=> E, A, F thẳng hàng
Ta có:
HP _|_ AB; CA _|_ AB =>HP // AB
=> QAH = PHA (sole trong)
Xét tam giác vuông AQH và tam giác vuông HPA:
AH chung
QAH = PHA
=> tam giác AQH = tam giác HPA (cạnh huyền_ góc nhọn) (3)
Từ (1), (2), (3) => tam giác FQA = tam giác APE => AF= AE (2 cạnh tương ứng)
Mà E, A, F là 3 điểm thẳng hàng => A nằm giữa E và F.
Vậy E, A, F thẳng hàng và A là trung điểm của EF