Học tại trường Chưa có thông tin
Đến từ Chưa có thông tin , Chưa có thông tin
Số lượng câu hỏi 33
Số lượng câu trả lời 1778
Điểm GP 83
Điểm SP 13

Người theo dõi (79)

Minz Ank
Long nữ
Nguyễn Duy Quang
TeamHauPro
Lê Đỗ Anh Khoa

Đang theo dõi (7)


Câu trả lời:

Không mất tính tổng quát, giả sử b là số nằm giữa a và c, khi đó ta có c(a − b)(b − c) ≥ 0, tương đương

         \(a^2b+b^2c+c^2a\le b\left(a^2+ca+c^2\right)\)

Từ đó, kết hợp với bất đẳng thức AM − GM bộ ba số, ta có :

        \(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab+bc+ca\right)\le b\left(a^2+ca+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

                                                                               \(\le\frac{\left(3b+a^2+ca+c^2+ab+bc+ca\right)^3}{3^4}\)

                                                                                \(=\frac{\left(\left(a+c\right)^2+3b+ab+bc\right)^2}{3^4}\)

                                                                                  \(=\frac{\left(\left(3-b\right)^2+3b+b\left(3-b\right)\right)^3}{3^4}\)

                                                                                    \(=9\)

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy − Schwarz thì :

                  \(a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\)

Do đó, sử dụng các đánh giá trên, sau đó liên tục dùng Cauchy − Schwarz ta có :

  \(P\ge\frac{7}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{9}\)

  \(=\frac{41}{18}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+\left(ab+bc+ca\right)^2+\left(ab+bc+ca\right)^2}{18\times3}\)

\(\ge\frac{41}{18}\times\frac{\left(a+b+c\right)^4}{3^2}+\frac{\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca\right)^2}{18\times3}\)

\(=\frac{22}{81}\left(a+b+c\right)^4\)

\(=22\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 nên giá trị nhỏ nhất của P là 22.