.

Cho hệ phương trình với tham số m:\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=2\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)

          Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ;y ) mà S= y–x  đạt giá trị nhỏ nhất.

cho a,b,c >0, a²+b²+c²=1

cmr : \(\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{a+c}+\dfrac{c^3}{a+b}\ge\dfrac{1}{2}\)

Có: A=\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) =\(\dfrac{x+y}{xy}\) =\(\dfrac{1}{xy}\) ( do x+y=1)

     Áp dụng bđt \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ,dâú bằng xảy ra khi a=b, ta có:

A=\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) =\(\dfrac{1}{xy}\) ≥ \(\dfrac{2}{x+y}\) =\(\dfrac{2}{1}\) =2 ( x+y=1)

dấu bằng xảy ra khi x=y=0,5. 

c/m bđt \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ⇔ a+b ≥ 2\(\sqrt{ab}\)

                                    ⇔(a+b)² ≥ 4ab 

                                     ⇔a² +b² +2ab≥ 4ab

                                      ⇔(a-b)² ≥ 0 (luôn đúng)

   dấu bằng xảy ra khi a=b.

cho đường tròn tâm (O) và (O') cắt tại A,B.một tiếp tuyến chung của 2 đường tròn tại C,D, (C∈(O), D∈(O')). AB cắt CD tại I.

C/m :I là trung điểm CD. 

a) ĐKXĐ: a²-1 ≠0 ⇔ (a-1)(a+1)≠0 ⇔\(\left[{}\begin{matrix}a-1\ne0\\a+1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a\ne1\\a\ne-1\end{matrix}\right.\)

b) A=\(\dfrac{2a^2}{a^2-1}-\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{a}{a-1}\) , a≠1, -1

      =\(\dfrac{2a^2}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\dfrac{a\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\dfrac{a\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\)

      =\(\dfrac{2a^2-a\left(a-1\right)+a\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\)

      =\(\dfrac{2a^2-a^2+a+a^2+a}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\)

      =\(\dfrac{2a^2+2a}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\) =\(\dfrac{2a\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\) =\(\dfrac{2a}{a-1}\)

vậy A =\(\dfrac{2a}{a-1}\) với a≠1,-1.

c) Có:A= \(\dfrac{2a}{a-1}\) = \(\dfrac{2a-2+2}{a-1}=\dfrac{2\left(a-1\right)+2}{a-1}=2+\dfrac{2}{a-1}\)

Để a∈Z thì a-1 ∈ Z ⇒ (a-1) ∈ Ư(2) =\(\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy để biểu thức A có giá trị nguyên thì a∈\(\left\{2;0;3\right\}\)