Rút gọn rồi tính \(A=2\cdot x+\sqrt{x^2-6\cdot x+9}\) với x=-5

Cho các số thực dương a, b, c sao cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{11}{a+b+c}\). Tìm GTNN của biểu thức \(P=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính BC. A là một điểm thay đổi trên nửa đường tròn sao cho AB>AC. Tia phân giác góc BAC cắt đường trung trực của BC tại D. Hạ DH và DK lần lượt vuông góc với AB và AC.

a) Chứng minh AHDK là hình vuông

b) Chứng minh A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn

c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BD tại X. Chứng minh X là điểm cố định

d) Hạ AM ⊥ BC, M ∈ BC. Tìm GTLN của 2MA+MB

Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Gọi Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) ( ∈ một nửa mặt phẳng AB). Qua điểm E thuộc một nửa đường tròn (E khác A, B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự C và D. Chứng minh:

a) CD=AC+BD

b) góc COD=90 độ

c) Tổng \(\frac{1}{OC^2}+\frac{1}{OD^2}\) không đổi khi điểm E di chuyển trên nửa đường tròn (E khác A, B)

d) Gọi F là giao điểm AD và BC. Chứng minh EF ⊥ AB

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(2\sqrt{y}+\sqrt{z}=\frac{1}{\sqrt{x}}\). Tìm GTNN của A = \(\frac{3yz}{x}+\frac{4zx}{y}+\frac{5xy}{z}\)

Cho đường tròn (O; R) và điểm A là một điểm cố định thộc đường tròn (O). Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại A. Trên đường thẳng d lấy điểm M (M≠A), kẻ đây cung AB ⊥ OM tại H.

a) Chứng minh OM là tiếp tuyến đường tròn (O) và 4 điểm A, O, M, B cùng thuộc 1 đường tròn

b) Kẻ đường kính AD của (O), đoạn thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Chứng minh

MA\(^2\)=MH*MO=ME*MD. Từ đó suy ra góc EHM=ODM

c) Qua O k ẻ đường thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lượt tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d để \(S_{\text{Δ}MPQ}\) đạt GTNN?

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm A( 1; 2 ), B( -1; 1 ), C( 3; 0 ). Xác định tọa độ D sao cho ABCD là hình bình hành
2) Cho hàm số y=(a-2)x+2
a) Tìm a để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng bằng 1
b) Tìm a để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đạt GTLN?