1.

a. Ta có \(\widehat{AMN}=\widehat{AHN}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN)=\(90^0-\widehat{NHC}=\widehat{BCA}\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{BCA}\)

Xét △AMN và △ACB có

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{AMN}=\widehat{BCA}\)(cmt)

Suy ra △AMN \(\sim\) △ACB(g-g)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AM.AB=AN.AC\)

b) Xét tứ giác BMNC có \(\widehat{AMN}=\widehat{BCA}\)\(\Rightarrow\) tứ giác BMNC nội tiếp

2.

a) Ta có △ABC vuông tại C có AO là đường trung tuyến\(\Rightarrow OA=OB=OC=\frac{BC}{2}\)\(\Rightarrow\)△OAC cân tại O hay \(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\Rightarrow\widehat{OAC}+\widehat{MNA}=\widehat{OCA}+\widehat{MNA}=\widehat{OCA}+\widehat{MHA}=\widehat{OCA}+\widehat{NHC}=90^0\Rightarrow\widehat{OAC}+\widehat{MNA}=90^0\Rightarrow\widehat{ADN}=90^0\Rightarrow\widehat{IDA}=90^0\)

Xét △ADI và △AHO có

\(\widehat{IDA}=\widehat{AHO}=90^0\)

\(\widehat{A}\) chung

Suy ra △ADI \(\sim\) △AHO(g-g)

b) Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{MAN}=\widehat{HNA}=\widehat{AMH}=90^0\Rightarrow\) tứ giác AMHN là hình chữ nhật\(\Rightarrow AI=\frac{AH}{2}\)

Ta có △ADI \(\sim\) △AHO\(\Rightarrow\frac{AH}{AD}=\frac{AO}{AI}=\frac{\frac{BC}{2}}{\frac{AH}{2}}=\frac{BC}{AH}\Rightarrow\frac{1}{AD}=\frac{BC}{AH^2}=\frac{HC+BH}{BH.HC}=\frac{1}{HB}+\frac{1}{HC}\)

Vậy \(\frac{1}{AD}=\frac{1}{HB}+\frac{1}{HC}\)

3. Ta có tứ giác BMNC nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{PBM}=\widehat{MNC}\Rightarrow\widehat{PBM}+\widehat{MNA}=\widehat{MNC}+\widehat{MNA}=180^0\)(1)

Ta có tứ giác AKMN nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{PKM}=\widehat{MAN}\left(2\right)\)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow\widehat{PBM}+\widehat{PKM}=180^0\Rightarrow\) tứ giác PBMK nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{PKB}=\widehat{PMB}=\widehat{AMN}=\widehat{BCA}\Rightarrow\) tứ giác BKAC nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{BKC}=\widehat{BAC}=90^0\)

a) Gọi R là bán kính của 2 đường tròn (O),(O')

Ta có \(\widehat{ABC}=90^0\) và \(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp đường tròn (O)

\(\Rightarrow\)AC là đường kính của (O) hay AC=2R(1)

Ta lại có \(\widehat{ABD}=90^0\) và \(\widehat{ABD}\) là góc nội tiếp đường tròn (O')

\(\Rightarrow\)AD là đường kính của (O') hay AD=2R(2)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow AC=AD\) hay △ACD cân tại A

b) Ta có \(\widehat{AEB}=\frac{sd\stackrel\frown{AB}}{2}\)

\(\widehat{AFB}=\frac{sd\stackrel\frown{AB}}{2}\)

Vì 2 đường tròn (O),(O') có cùng bán kính

Suy ra \(\widehat{AEB}=\widehat{AFB}\) \(\Rightarrow\)△AEF cân tại A hay AE=AF

a) Ta có \(\widehat{AMB},\widehat{AEB}\) là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AEB}=90^0\Rightarrow\widehat{KMF}=\widehat{FEK}=90^0\)

Xét tứ giác EFKM có \(\widehat{KMF}+\widehat{FEK}=90^0+90^0=180^0\)

Suy ra tứ giác EFKM là tứ giác nội tiếp

b) Ta có AI là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{IAF}=\widehat{EBA}\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AE)

Mà \(\widehat{IAF}=\widehat{FAM}\)

Suy ra \(\widehat{FAM}=\widehat{EBA}\Rightarrow90^0-\widehat{FAM}=90^0-\widehat{EBA}\Rightarrow\widehat{AFB}=\widehat{FAB}\) hay △BAF cân tại B

a) Ta có AM là tiếp tuyến của đường tròn

\(\Rightarrow\)OA⊥MA

Mà BD⊥MA

Suy ra OA//BD hay OA//BH

Ta có BM là tiếp tuyến của đường tròn

\(\Rightarrow\)OB⊥MB

Mà AC⊥MB

Suy ra OB//AC hay OB//AH

Xét tứ giác AHBO có

OA//BH(cmt)

OB//AH(cmt)

Suy ra tứ giác AHBO là hình bình hành

Mà OA=OB(đều là bán kính)

Suy ra tứ giác AHBO là hình thoi

b) Nối OM

Ta có △OBM vuông tại B\(\Rightarrow sin_{OMB}=\frac{OB}{OM}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{OMB}=30^0\)

Ta lại có MA và MB là 2 tiếp tuyến\(\Rightarrow\widehat{OMA}=\widehat{OMB}=30^0\)

Mà \(\widehat{AMB}=\widehat{OMA}+\widehat{OMB}=30^0+30^0=60^0\)

Vậy \(\widehat{AMB}=60^0\)

a) Ta có AM và BN đều là tiếp tuyến của đường tròn\(\Rightarrow\widehat{MAD}=\widehat{NBD}=90^0\)

Xét tứ giác ADCM có \(\widehat{MCD}+\widehat{MAD}=90^0+90^0=180^0\)

Suy ra tứ giác ADCM nội tiếp đường tròn

Xét tứ giác BDCN có \(\widehat{DCN}+\widehat{NBD}=90^0+90^0=180^0\)

Suy ra tứ giác BDCN nội tiếp đường tròn

b) Ta có các tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{MDC}=\widehat{MAC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)

Và \(\widehat{NDC}=\widehat{CBN}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung CN)

Mà \(\widehat{MAC}=\widehat{ABC}\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)

\(\widehat{CBN}=\widehat{BAC}\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC)

Và \(\widehat{ABC}+\widehat{CAB}=90^0\)

Suy ra \(\widehat{MDC}+\widehat{CDN}=90^0\Rightarrow\widehat{MDN}=90^0\)

c) Xét tứ giác CPDQ có \(\widehat{MDN}+\widehat{PCQ}=90^0+90^0=180^0\)

Suy ra tứ giác CPDQ nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{CQP}=\widehat{CDP}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung CP)\(=\widehat{MAC}=\widehat{CBA}\Rightarrow\widehat{CQP}=\widehat{CBA}\) hay PQ//AB(2 góc so le trong bằng nhau)

\(x^2-2x-15=0\Leftrightarrow x^2+3x-5x-15=0\Leftrightarrow x\left(x+3\right)-5\left(x+3\right)=0\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x-5\right)=0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\x-5=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=5\end{matrix}\right.\)

Vậy S={-3;5}

a) Ta có △\(=b^2-4ac=\left[2\left(m-1\right)\right]^2-4.1.\left(-2m-3\right)=4m^2-8m+4+8m+12=4m^2+16>0\)Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm x₁,x₂ với mọi m thuộc R

b) Theo định lí Vi-ét với m\(\in R\), ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-2\left(m-1\right)}{1}=2-2m\\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2m-3}{1}=-2m-3\end{matrix}\right.\)

Ta lại có \(\left(4x_1+5\right)\left(4x_2+5\right)+19=0\Leftrightarrow16x_1x_2+20x_1+20x_2+25+19=0\Leftrightarrow16x_1x_2+20\left(x_1+x_2\right)+44=0\Leftrightarrow16.\left(-2m-3\right)+20.\left(2-2m\right)+44=0\Leftrightarrow-32m-48+40-40m+44=0\Leftrightarrow-72m+36=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Vậy m=\(\frac{1}{2}\) thì \(\left(4x_1+5\right)\left(4x_2+5\right)+19=0\)

ĐK: \(x\ge-3\)

\(\sqrt{x^2+1}-x=3\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=x+3\Leftrightarrow x^2+1=\left(x+3\right)^2\Leftrightarrow x^2+1=x^2+6x+9\Leftrightarrow6x=-8\Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}\left(tm\right)\)

Vậy S={\(\frac{-4}{3}\)}

ĐK: \(x\ge-4\)

\(\sqrt{6-4x+x^2}-x=4\Leftrightarrow\sqrt{6-4x+x^2}=4+x\Leftrightarrow6-4x+x^2=\left(4+x\right)^2\Leftrightarrow6-4x+x^2=16+8x+x^2\Leftrightarrow12x=-10\Leftrightarrow x=\frac{-5}{6}\left(tm\right)\)Vậy S={\(-\frac{5}{6}\)}

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=xy-1\\2x+3y=2xy-4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=2xy-2\left(1\right)\\2x+3y=2xy-4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Trừ vế theo vế của (1) cho (2) ta có \(y=2\)

Thay y=2 vào (1)\(\Leftrightarrow2x+8=4x-2\Leftrightarrow2x=10\Leftrightarrow x=5\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=2\end{matrix}\right.\)