Cho a, b, c dương. Chứng minh: \(\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\ge\frac{3}{\sqrt{5abc}}\)

Cho a, b, c dương. Chứng minh: \(\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\ge\frac{3}{\sqrt{5abc}}\)

Cho x, y, z là các số thực thỏa \(0\le x,y,z\le1\). Tìm min \(P=\sqrt{\frac{x}{1+yz}}+\sqrt{\frac{y}{1+xz}}+\frac{z}{2+2xy}\)

\(\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}\)

Cho a, b, c > 0 thỏa abc=1. Cmr:

\(\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\le1\)

Cho a, b, c dương thỏa a + b + c = 3. Chứng minh:

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge a^2+b^2+c^2\)

Cho (O) đường kính AB = 2R, C là điểm chính giữa cung AB. Lấy M tùy ý trên cung BC. Gọi N là giao điểm 2 tia OC và BM; H, I lần lượt là trung điểm đoạn thẳng AO, AM; K là giao điểm BM và HI.

a/ Cm: A, H, K, N cùng thuộc 1 đường tròn

b/ Tìm vị trí của M trên cung BC ( M không trùng B ) để \(AK=\frac{R\sqrt{10}}{2}\)

Cho a, b, c dương thỏa \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=2\). Cmr: \(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}\ge1\)

Cho x,y dương thỏa \(x+y\le1\). Tìm min: \(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\)

Cm: \(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}}\le1\) khi \(ab^2+bc^2+ca^{^2}-abc=0\)