Cách khác. 

Quy đồng, ta cần chứng minh:

\(2\,{a}^{3}{c}^{2}+{a}^{2}{b}^{3}-3\,{a}^{2}{b}^{2}c-2\,{a}^{2}b{c}^{2} +2\,{a}^{2}{c}^{3}+a{b}^{4}-3\,a{b}^{2}{c}^{2}+{b}^{4}c+{b}^{3}{c}^{2}\geq 0\)

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\(3\,a{b}^{2}{c}^{2}\leq \dfrac{5}{4}{a}^{2}{c}^{3}+\dfrac{1}{2}\,a{b}^{4}+\dfrac{1}{4} \,{b}^{4}c+{b}^{3}{c}^{2},\\2\,{a}^{2}b{c}^{2}\leq {\dfrac {7\,{a}^{3}{c} ^{2}}{10}}+\dfrac{1}{5}{a}^{2}{b}^{3}+\dfrac{3}{4}{a}^{2}{c}^{3}+{\dfrac {7\,{b}^{4}c }{20}},\\3\,{a}^{2}{b}^{2}c\leq {\dfrac {13\,{a}^{3}{c}^{2}}{10}}+\dfrac{4}{5}{a }^{2}{b}^{3}+\dfrac{1}{2}a{b}^{4}+\dfrac{2}{5}{b}^{4}c \)

Xong :D

Xét hiệu hai vế bất đẳng thức đã cho ta được:

\(VT-VP={\dfrac { \left( a-b \right) ^{2}{c}^{2}}{ \left( b+c \right) \left( c +a \right) \left( a+b+c \right) }}+{\dfrac { \left( b-c \right) ^{2}{a }^{2}}{ \left( a+b \right) \left( c+a \right) \left( a+b+c \right) } }+{\dfrac { \left( ac-{b}^{2} \right) ^{2}}{ \left( a+b \right) \left( b+c \right) \left( a+b+c \right) }}\geqslant 0. \)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

Có: \(71^{50}=\left(71^2\right)^{25};37^{75}=\left(37^3\right)^{25}\)

Lại có: \(71^2< 72^2=\left(2\cdot36\right)^2=2^2\cdot36^2=4\cdot36^2< 36\cdot36^2=36^3< 37^3\)

Vậy \(71^{50}< 37^{75}\)

Đối với dạng này ta dùng công thức \(a\cdot\left(a+1\right)=\dfrac{1}{3}\left[a\cdot\left(a+1\right)\cdot\left(a+2\right)-\left(a-1\right)\cdot a\cdot\left(a+1\right)\right]\)

Ta có:

\(1\cdot2=\dfrac{1}{3}\left(1\cdot2\cdot3-0\cdot1\cdot2\right)\)

\(2\cdot3=\dfrac{1}{3}\left(2\cdot3\cdot4-1\cdot2\cdot3\right)\)

$\cdots$

\(2016\cdot2017=\dfrac{1}{3}\left(2016\cdot2017\cdot2018-2015\cdot2016\cdot2017\right)\)

Cộng lại ta có: \(1\cdot 2 +2\cdot 3 +3 \cdot 4 +\cdots +2016\cdot 2017=\dfrac{1}{3} (2016\cdot 2017 \cdot 2018-0\cdot 1 \cdot 2)=\dfrac{1}{3}\cdot 2016\cdot 2017 \cdot 2018 \)

Thay vào $A$ thu được $A=672.$

a) Ta có:

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

 \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}\)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

b) BĐT \(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

Hay là \(2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\),

đúng.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

c) \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+2\right)^2}{x^2+1}\ge4\Leftrightarrow x^4+4x^2+4\ge4x^2+4\Leftrightarrow x^4\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi $x=0.$

d) Xét hiệu hai vế đi bạn.

Hmm mình đoán I là giao điểm của BD và CE. Cách khác.

a) Xét $\Delta BCE$ và $\Delta CBD.$

$\widehat{BEC}=\widehat{CDB}=90^o$

$\widehat{EBC}=\widehat{DCB}$ (tam giác $ABC$ cân tại A)

BC chung 

Vậy $\Delta BCE =\Delta CBD$ nên $BE=CD$ mà $AB=AC$ nên $AE=AD.$

Vậy $\Delta ADE$ cân tại A.

b) Từ câu $(a)$ ta có: \(\widehat{AED}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}=\widehat{ABC}\Rightarrow\) DE // BC

$I$ là giao điểm của hai đường cao BD và CE nên $I$ là trực tâm.

Mà tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường cao $AI$ xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến.

Tức $AI$ cắt $BC$ tại trung điểm mà $AI \bot BC$ nên $AI$ cũng là đường trung trực $BC.$

Vậy $I$ cách đều $BC$ nên $IB=IC.$

\(S=-\left(a-b\right)+c-c+\left(b+a\right)-\left(a+b\right)=-\left(a-b\right)=-1\)

Hình bạn tự vẽ.

Bài 1.

a) Xét tam giác AHB và AHC có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o$ (gt)

$AB=AC$ (tam giác ABC cân tại A)

$AH$ chung.

Vậy $\Delta AHB=\Delta AHC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow HB=HC\) (1)

b) Ta có: \(AC\bot AB;MB\bot AB\Rightarrow\) MB// AC $(2)$ do đó $\widehat{ACB}=\widehat{CBM}$ (so le trong) (3)

Tương tự MC // AB $(4)$

Từ $(2)$ và $(4)$ theo tính chất cặp đoạn chắn ta có $AC=MB. (5)$

Từ $(1),(3)$ và $(5)$ ta có $\Delta AHC = \Delta MHB$

Do đó $\widehat{MHB}=\widehat{AHC}=\widehat{AHB}=90^o$

Vậy $\widehat{MHB}+\widehat{AHB}=180^o$

Do đó $A,H,M$ thẳng hàng.