Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho
A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), S(0,0,1).
Vì ABCD là hình bình hành nên cách đặt như vậy là thuận tiện.
Khi đó:
I là trung điểm của BC nên
I(1, 1/2, 0)
K là trung điểm của CD nên
K(1/2, 1, 0)
M thuộc SB và SM/SB = 1/3 nên
M = S + 1/3(B - S)
= (0,0,1) + 1/3(1,0,-1)
= (1/3, 0, 2/3)
Mặt phẳng (SIK)
Ta có
SI = (1, 1/2, -1)
SK = (1/2, 1, -1)
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SIK) là
n = SI x SK = (1/2, 1/2, 3/4)
Suy ra phương trình mặt phẳng (SIK) là
2x + 2y + 3z - 3 = 0
Đường thẳng MD
Ta có
D(0,1,0), M(1/3,0,2/3)
Nên điểm bất kỳ trên MD có dạng
(x,y,z) = (0,1,0) + t(1/3,-1,2/3)
tức là
x = t/3
y = 1 - t
z = 2t/3
Vì N là giao điểm của MD với mặt phẳng (SIK), thay vào phương trình mặt phẳng:
2.t/3 + 2(1 - t) + 3.2t/3 - 3 = 0
Rút gọn:
2t/3 + 2 - 2t + 2t - 3 = 0
2t/3 - 1 = 0
t = 3/2
Trên đường thẳng MD:
t = 0 ứng với D
t = 1 ứng với M
t = 3/2 ứng với N
Vậy
ND = 3/2 . DM
NM = (3/2 - 1)DM = 1/2 . DM
Suy ra
ND/NM = (3/2 DM)/(1/2 DM) = 3
Kết luận:
ND/NM = 3.