Cho đường tròn O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ M vex tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH\(\perp\)AB (H thuộc AB), MB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N. Chứng minh rằng:

a) tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn;

b)\(AM^2\)=MK.MB

c) KAC=OMB

d)N là trung điểm của CH

2. cho phương trình: 2\(x^2-2mx+m^2-2=0\) (1), với m là tham số.

a) giải phương trình (1) khi m=2

b) tim cac gia tri cua m de phuong trinh co 2 nghiem \(x_1,x_2\)thoa man he thuc: A= |\(2x_1x_2-x_1-x_2-4\)| max

cho parabol (P): y=\(x^2\) và đường thẳng (d): y = (2m-1)x-2m+2

a)xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 0

b)tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt C(\(x_1;y_1\)); D(\(x_2;y_2\))

Cho (O;R) đường kính AB cố định. Dây CD di động vuông góc với AB tại điểm H nằm giữa 2 điểm A và O. Lấy điểm F thuộc cung AC nhỏ; BF cắt CD tại E; À cát tia DC tại I.

1) chứng minh rằng tứ giác AHEF là tứ giác nội tiếp

2) chứng minh rằng: HA.HB=HE.HI

3) đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)IEF cắt AE tại điểm thứ 2 M. Chứng minh: M thuộc (O;R)

4) tìm vị trí của H trên OA để\(\Delta\)OHD có chu vi lớn nhất

Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao AH. Gội M và N lần lượi là các hình chiếu của điểm H trên cạnh AB và AC

a) CM: tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn

b) CM: tam giác AMN đông dạng với tam giác ACB

c) Đường thẳng NM cắt đường thẳng BC tại Q. CM: \(QH^2\)=QB.QC

d) Gọi AQ cắt đường tròn (O) tại điểm RA khác điểm A và điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB. CMR: ba điểm R, H, I thẳng hàng

1. tìm m để nghiệm của hệ \(|^{\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{1\left(x-y\right)}{5}}_{\dfrac{x-3}{4}-\dfrac{y-3}{3}=2y-x}\) _{cũng là nghiệm của PT}

_3mx-5y=2m+1

Nếu hai vòi nước cùng chạy vào 1 bể càn thì sau 12 giờ đầy bể. Sau khi 2 vòi cùng chảy 8 giờ, người ta khóa vòi 1 còn vòi 2 tiếp tục chảy. Do tăng công suất lên gấp đôi nên vòi 2 đã chảy đầy phần còn lại của bể trong thời gian 3,5 giờ. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình với công suất ban đầu thì phải mất bao lâu mới đầy bể?

Cho đương tròn tâm (O), đườn kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho OI< AI. Kẻ dây MNAB tại I, gọi C là tiếp điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N, B. Gọi E là giao điểm của AC và MN

a) CMR: tứ giác IEBC nội tiếp

b)CMR: =AE.AC

c)CMR: AE. AC- AI. BI= . CM: M, B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCE thẳng hàng

d)Với I cố định, xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCE nhỏ nhất